Свойства верхних и нижних сумм

1. Для любого фиксированного разбиения и для любого промежуточные точки на сегментах можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точки на сегментах можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам .

2. Если разбиение сегмента получено путем добавления новых точек к точкам разбиения этого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства и .

3. Пусть и - любые два разбиения сегмента . Тогда если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и , то и .

4. Множество верхних сумм данной функции для всевозможных разбиений сегмента ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.

Обозначим через точную нижнюю грань множества верхних сумм, а через - точную верхнюю грань множества нижних сумм .

Определение: Числа и называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции .

5. Пусть разбиение сегмента получено из разбиения добавлением к последнему новых точек, и пусть если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и . Тогда для разностей и может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения , числа добавленных точек и точных верхней и нижней граней и функции на сегменте . Именно и .

6. Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу и от функции по сегменту являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при и, следовательно, :

, , и при этом .

Дата добавления: 2014-01-13