Интегрирование по бесконечному промежутку

Определение: Пусть функция интегрируема на каждом отрезке , т.е. существует определенный интеграл . Тогда за несобственный интеграл принимают предел . Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично можно определить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом: .

При рассмотрении интеграла с бесконечными верхним и нижним пределами выбирается произвольная промежуточная точка и используется свойство аддитивности: . Если оба несобственных интеграла справа сходятся, то говорят, что существует и несобственный интеграл . Нетрудно показать, что выбор точки не влияет на конечный результат.

Следует отметить важное свойство несобственных интегралов, отличающее их от определенных интегралов.

Известно, что для определенных интегралов справедливо утверждение: если существует , то существует и интеграл

В случае несобственных интегралов имеет место следующее утверждение: из сходимости несобственного интеграла от следует сходимость несобственного интеграла от . В этом случае говорят об абсолютной сходимости . В то же время, сходимость не означает сходимости . В этом случае называется условно сходящимся.

Дата добавления: 2014-01-13