Движение материальной точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение

Движение материальной. точки по окружности является частным случаем криволинейного движения.

При движении точки по окружности вектор линейной скорости ее (рис.5.1) непрерывно изменяет свое направление, при этом радиус-вектор ее непрерывно поворачивается. За промежуток времени Dt он поворачивается на угол D j. Нужно указать, в какую сторону происходит этот поворот (по часовой стрелке или против). Таким образом, возникает необходимость считать угол поворота радиус-вектора величиной векторной. Длина вектора Δ φ равна величине угла поворота Δφ, а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот.

Если величина угла D j очень мала (по сравнению с p радиан), то направление вектора выбирают так: он направлен по оси, в которой она лежит, в сторону поступательного движения буравчика, ручка которого вращается в направлении движения материальной точки (рис.5.1)

По аналогии со скоростью поступательного движения введем вектор угловой скорости .

(5.1)

Вектор направлен так же, как и вектор . Вектор линейной скорости точки определяется так:

(5.2)

Если учесть, что то

Поэтому

(5.3)

Если угловая скорость не меняется с течением времени, то движение часто называют «равномерным движением по окружности». Однако в этом случае подразумевают только тот факт, что скорость точки при движении не меняется по величине. На самом же деле это движение ускоренное, так как в каждый последующий момент времени меняется направление скорости, т. е. движущееся тело имеет ускорение . По величине это ускорение, согласно (3.6), равно и направлено по радиусу к центру, поэтому нормальное ускорение часто называют центростремительным.

Если точка при движении с постоянной скоростью по окружности за время переместилась на , то величина скорости равна:

(5.4)

Это соотношение указывает на связь между линейной и угловой скоростями.

Если угловая скорость постоянна, то движение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т – временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π. Т.к. промежутку времени Δt=T соответствует Δφ=2π, то ω=2π/Т, откуда

Т = 2π/ω (5.5)

Число полных оборотов, совершаемых телом в единицу времени, называется частотой вращения n:

n=1/T= ω/(2π) (5.6)

Отсюда

ω=2 πn (5.7)

Для равномерного движения тела по окружности, если - начальное угловое положение некоторой точки А, а = 0 - начальный момент времени, то

(5.8)

Если угловая скорость тела меняется со временем, то вводят понятие углового ускорения – быстроты изменения угловой скорости:

(5.9)

ω₂ ω₁

ω₁ ω₂

>0 <0

Рис.5.2.

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору ω, при замедленном – противонаправлен ему (рис. 5.2.)

Если отсчет времени начинаем с нуля, то

(5.10)

и

(5.11)

Вектор углового ускорения связан с вектором ускорения следующим образом:

;

тогда первое слагаемое можно записать , но и получаем - это так называемое двойное векторное произведение. Его можно расписать следующим образом:

так как и их скалярное произведение равно 0.

- по определению. В итоге получаем

.

Первое слагаемое нормальное ускорение имеет знак минус, так как и противоположно направлены. Второе слагаемое - тангенциальное ускорение.

Пример. Маховое колесо, вращающееся со скоростью п об/с, останавливается в течение секунд. Считая движение равнозамедленным, определить, сколько оборотов N оно сделало до полной остановки.

Маховое колесо движется замедленно с постоянным угловым ускорением , величина которого в условии не задана. Угловая скорость колеса в каждый момент времени определяется формулой . Так как через секунд колесо останавливается, то . Отсюда

.

Полный угол , который описывает любая точка махового колеса с момента торможения до полной остановки, можно определить по формуле (1.59)

Поскольку один оборот колеса соответствует углу поворота любой его точки на 2л радиан, то полное число оборотов N колеса до остановки равно

Дата добавления: 2014-01-11