Лінійні рівняння з однією змінною

Рівняння виду

a₁х + b₁ = а₂х + b₂, a₁, а₂, b₁, b₂, х Î R (1)

називається лінійним рівнянням з однією змінною. На підставі наслідків теореми 1, перенесемо члени рівняння, що містять змінну, в ліву частину, а вільні члени (члени, що не містять змінної) – в праву і зведемо подібні члени. Одержимо рівняння

ах = b, (2)

яке рівносильне рівнянню (1).

Якщо а ¹ 0, то рівняння (2) називається рівнянням першого степеня з однією змінною.

Можливі випадки:

1) а ¹ 0, тоді за наслідком 4 з теореми 2 рівняння (2) буде рівносильне рівнянню

В цьому разі рівняння (2), а отже, і рівносильне йому рівняння (1), матиме один розв’язок

2) а = 0, b = 0, тоді рівняння (2) набере вигляду:

0 × х = 0.

Будь-яке число буде його розв’язком, бо добуток довільного числа і нуля дорівнює нулю. Отже, рівняння (2), а відтак, і рівняння (1) своїми розв’язками матиме будь-яке дійсне число, тобто х Î R.

3) а = 0, b ¹ 0, тоді рівняння (2) набере вигляду:

0 × х = bn.

Воно не має розв’язків, бо добуток будь-якого числа та нуля дорівнює нулю і ліва частина при жодному значенні змінної не може дорівнювати правій. Отже, х Î ø.

Задача 6. Розв’язати рівняння

2х + 3 – 5х – 4 = х + 3+х – 7х.

Перенесемо члени, що містять змінну, в ліву частину рівняння, а вільні члени – в праву частину і зведемо подібні члени:

2х – 5х – х – х + 7х = 3 – 3 + 4 Û 2х = 4.

2 ¹ 0, тоді, на основі наслідку 4 теореми 2, дістанемо, що х = 2.

Відповідь: х Î {2}.

Програма початкової школи передбачає лише ознайомлення з поняттям рівняння з однією змінною та розв’язування окремих рівнянь способом підбору або на основі залежності між компонентами і результатами арифметичних операцій.

Задача 7. Розв’язати рівняння

14 – (5х + 10): 3 = 4 (1)

на підставі залежності між компонентами і результатами арифметичних операцій.

1. Із зазначених у лівій частині рівняння (1) операцій останньою є віднімання. Змінна міститься у невідомому від’ємнику, який одержимо, коли від зменшуваного відняти різницю: 14 – 4 = 10. Отже,

(5х + 10): 3=10. (2)

2. Останньою операцією у виразі лівої частини рівняння (2) є ділення. Змінна знаходиться в невідомому діленому, яке дорівнює добутку частки і дільника: 10 – 3 = 3. Отже,

5х + 10 = 30. (3)

3. Останньою операцією у виразі лівої частини рівняння (3) є додавання. Змінна міститься у невідомому доданку, який дорівнює різниці суми і відомого доданка: 30 – 10 = 20, а тому маємо

5х = 20. (4)

4. У лівій частині рівняння (4) невідомим є один із множників, який дорівнює частці від ділення добутку на відомий множник:

х = 20: 5 = 4.

Отже, х = 4.

Всі рівняння (2) – (4), які отримували при здійсненні перетворень, рівносильні даному на основі теорем 1 і 2, а тому знайдений розв’язок х = 4 останнього рівняння буде і розв’язком рівняння (1).

Відповідь: х Î {4}.

Дата добавления: 2014-01-13