Квадратні рівняння та їх розв’язування

Рівняння вигляду

ах² + bx + c = 0, a,b,c, x Î R, a ¹ 0, (1)

називається квадратним. Якщо а = 1, то воно називається зведеним. Якщо хоч один з коефіцієнтів b або с дорівнює нулю, то рівняння називається неповним.

Щоб знайти розв’язки квадратного рівняння, здійснимо тотожні перетворення:

ах² +bх + с = 0 Û х² +

(2)

З одержаного рівняння видно, що його розв’язки залежать від виразу

b² – 4ас = D,

який називається дискримінантом квадратного рівняння.

1. Якщо D > 0, то з нього можна добути квадратний корінь, і рівняння (2) запишеться

що рівносильно сукупності рівнянь

Її розв’язками будуть числа

i (3)

які й будуть розв’язками квадратного рівняння (1).

2. Якщо D < 0, то – D > 0, і рівняння (2) можна переписати так:

в якому ліва частина при будь-якому числі х завжди буде додатним числом. Отже, рівняння (4), а отже, і рівносильне йому рівняння (1) розв’язків не мають.

З проведених міркувань випливає теорема.

Теорема 4. Квадратне рівняння

ах² +bx + c = 0, a,b,c,x Î R, а ¹ 0,

має:

1) два дійсних корені, якщо D > 0,

2) один дійсний корінь, ящо D = 0,

3) не має дійсних коренів, якщо D < 0.

Корені рівняння (1) можна знайти за формулою

(5)

При D = 0 – x₁, = х₂ = , тобто корені рівні, тому і прийнято казати, що в цьому разі квадратне рівняння має один корінь.

Дата добавления: 2014-01-13