Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Рівняння з двома змінними




Поняття рівняння з однією змінною можна узагальнити на випадок рівняння з кількома змінними. Всі твердження для рівнянь з однією змінною матимуть місце і для рівнянь з кількома змінними, лише відповідно сформульовані. Розглянемо це на прикладі рівнянь з двома змінними.

Нехай на множині М =Мх х М задано два вирази f (x,y) і q (x,y) з двома змінними. Предикат

f (x,у) = q (x, у), (х,у) Î М,

для якого потрібно знайти область істинності, називається рівнянням з двома змінними.

Областю визначення рівняння з двома змінними називається область визначення предиката, що задає рівняння. Вона дорівнює перерізу областей визначення виразів f (x,y) і q (x,y).

Множиною розв’язків рівняння з двома змінними називається область істинності предиката, що задає рівняння, а кожна впорядкована пара з цієї множини – його розв’язком. Розв’язати рівняння з двома змінними – це означає знайти множину його розв’язків.

Якщо в рівнянні з двома змінними всі коефіцієнти членів, що містять змінні, і вільний член дорівнюють нулю, то довільна пара дійсних чисел буде його розв’язком. Якщо ж всі коефіцієнти членів, що містять змінні, рівні нулю, а вільний член відмінний від нуля, то таке рівняння не має розв’язків. Тому розглядаються рівняння, в яких хоч один із коефіцієнтів членів, що містять змінні, відмінний від нуля. Для одержання розв’язків такого рівняння одній із змінних, наприклад, у, надають довільне значення у0 з множини My, отримують рівняння з однією змінною х. Розв’язують його. Кожне знайдене значення х0, якщо воно існує, змінної х разом зі значенням у0 становлять розв’язок даного рівняння з двома змінними. Оскільки значення однієї зі змінних вибиралось довільно, то в більшості випадків рівняння з двома змінними має безліч розв’язків, причому одна з його компонент вибирається довільно. Наприклад, рівняння

х2 – у =0

має безліч розв’язків виду (, а) або (–, а), де а > 0; рівняння

х22 =0

має єдиний розв’язок (0; 0); а рівняння

х2 + y2=–1

не має розв’язків.

Кожному розв’язку рівняння з двома змінними на координатній площині відповідає одна і тільки одна точка, координати якої збігаються з розв’язком. Множина всіх таких точок називається точковим графіком (коротше графіком) рівняння з двома змінними. В більшості випадків графіком рівняння з двома змінними є лінія на координатній площині.

Поняття лінії є неозначуваним у нашому курсі. Уявлення про неї можна одержати, розглядаючи, наприклад, довільно зігнутий шматок дроту. В математиці лінію розглядають як множину точок площини (простору), що мають певну, спільну для всіх цих точок, властивість. Знайомство з окремими видами ліній, таких, наприклад, як пряма, коло, парабола, еліпс тощо, передбачено шкільним курсом математики.

Рівняння з двома змінними називається рівнянням лінії на координатній площині, якщо:

1)кожний розв’язок рівняння є координатою точки лінії;

2)координати кожної точки лінії є розв’язком рівняння.

Рівняння лінії може бути складним, і задати його буває важко, але воно дає змогу встановлювати по його розв’язках властивості лінії, тобто вивчення геометричних властивостей лінії здійснювати алгебраїчними методами.

Практично розв’язуються дві задачі: спочатку за деякою однією геометричною властивістю лінії знаходять її рівняння, а потім за допомогою цього рівняння вивчають інші властивості даної лінії. Будувати лінію іноді зручніше на основі її геометричних властивостей, а іноді – за допомогою рівняння.

Розглянемо на прикладі кола, як виводиться рівняння лінії.

Колом із заданими центром у точці С і радіусом r називається множина точок площини, відстань яких від точки С площини дорівнює числу r (позначається K[С; r]).

На площині задамо довільну прямокутну систему координат О х у. Коло К[С; r]) може бути розміщене довільно відносно системи координат. Нехай точка С(а,b) – його центр і М(х, у) – довільна точка кола у вибраній системі координат, рис. 1.

Тоді СМ = r. За формулою відстані між двома точками на координатній площині знайдемо

або

(1)

Оскільки r > 0 і , то рівняння (1) буде рівносильне рівнянню

(x – a)2+(y – b)2=r2. (2)

Отже, якщо точка М(х, у) лежить на колі К, то її координати є розв’язком рівняння (2).

Навпаки, нехай (х0у0) – будь-який розв’язок рівняння (2), тобто

(x0 – a)2+(y0 – b)2=r2.

Звідси одержуємо, що

а це означає, що відстань від точки М (х0, у0) до точки С(а, b) дорівнює r. Тому точка М (х0, у0) лежить на колі К. Таким чином, має місце теорема.

Теорема 5. У прямокутній системі координат хОу рівняння кола радіусом r і з центром в точці С(а, b) може бути записане у вигляді

(x – a)2+(y – b)2=r2. (2)

Зокрема, коло з центром у початку координат має рівняння

х22=r2.

Рівняння (2) називається зведеним (канонічним) рівнянням кола. Якщо в ньому розкрити дужки, то одержимо рівняння другого степеня з двома змінними, яке називається загальним рівнянням кола.

Але не кожне рівняння другого степеня з двома змінними є рівнянням кола на площині. Так, рівняння у = х2 визначає лінію, яка називається квадратною параболою.

Задача 9. Довести, що рівняння

х22 + 4х – 8у + 11 =0

є рівнянням кола. Знайти його центр і радіус.

Щоб довести, що дане рівняння є рівнянням кола, потрібно звести його до канонічного вигляду. Для цього в лівій частині рівняння виділимо повні квадрати

х2 + у2 + 4х – 8y +11 =

= (х2 + 2×2х + 4) + (y2 – 2×4y + 16) – 4 – 16 + 11 =

= (x + 2)2 + (y – 4)2 – 9.

Отже,

(х + 2)2 + (y – 4)2 – 9 = 0 або (х + 2)2 + (y – 4)2=32.

А це і є канонічним рівнянням кола з радіусом 3 і центром (–2; 4), рис. 2.

До найпростіших ліній на площині належить пряма, яка задається рівнянням першого степеня з двома змінними:

ax + by = c, a, b, c, x, y Î R,

де а і b одночасно не дорівнюють нулю, тобто а2 + b2 ¹ 0.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 1579; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.