Тема 3. Системи лінійних рівнянь

План.

1. Поняття про систему лінійних рівнянь.

2. Матричний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь.

3. Формули Крамера та їх застосування для розв’язування систем лінійних рівнянь.

4. Метод Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь.

1. Система m лінійних рівнянь з n невідомими має такий вигляд:

(1)

В данній системі можна виділити три матриці:

А=- матриця системи; Х=; В= .

Тоді можна записати рівняння (1) в матричному вигляді:

АХ=В. (2)

Роз’язком системи (1) називається деяка сукупність n чисел x₁=a₁, x₂=a₂,..., x_n=a_n, які всі системи перетворюють у тотожність.

· Якщо система має єдиний розвязок, то вона називається визначеною.

· Якщо система має безліч розвязків, то вона називається невизначеною.

· Система називається сумісною, якщо вона має хоч один розв’язок.

· Система, яка не має жодного розвязку, називається несумісною.

2. Для простоти записів розглянемо систему третього порядку. Нехай n =3.

(3)

А=- матриця системи; Х=; В= .

Нехай матриця А невироджена, тобто визначник не дорівнює 0. |А|№ 0. У цьому випадку існує обернена матриця до даної АА^-1 = А^-1А = Е.

Домножимо обидві частини матричного рівняння (2) на А^-1 зліва:

А^-1АХ = А^-1В;

ЕХ = А^-1В;

Х = А^-1В.

Наприклад: Розв¢язати систему рівнянь

Тут А=; В=.

Знайшовши визначник маємо: |А|=2 Ю |А|№ 0. Після обрахунків алгебраїчних доповнень, отримаємо:

А^-1= ;

Тоді Х= = =. Таким чином х₁=1, х₂=-2, х₃=3.

3. Розглядаємо n рівнянь з n невідомими. Для простоти викладу знову візьмемо n=3, тобто розглянемо систему (3).

Позначимо D = |А|= - визначник системи.

ТЕОРЕМА: Якщо визначник системи (3) D № 0, то система (3) має розвязок (причому єдиний) і цей розв’язок знаходиться за формулами:

х₁= ; х₂=; х₃=.

(Ці формули називаються формулами Крамера),

де D₁=; D₂= ; D₃= .

ДОВЕДЕННЯ:

1) |А|№ 0, то А має обернену матрицю А^-1,отже, розв’язок існує X=A^-1B.

2) Доведемо, що розвязок єдиний. Припустимо, що існує ще один розвязок Y=, тоді Y=A^-1B. Отже, Х = Y.

3) Обернена матриця має вигляд

А^-1=. Х = = .

х₁== . Аналогічно х₂=; х₃=.

Дата добавления: 2014-01-13