Условия уравновешенности

Приведение системы сил к центру

Последовательно выполняя параллельный перенос сил F ₁, …, F _n в точку О (рис.10), получаем:

Теорема 5. Плоскую систему сил можно заменить одной силой, которая равна сумме сил системы и приложена в произвольной точке О тела, и одной парой, момент которой равен сумме моментов сил системы относительно этой точки О.

Теорема 5 позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия уравновешенности произвольной плоской системы сил.

Плоская система сил { F ₁, …, F _n } уравновешена тогда и только тогда, если равны нулю сумма сил системы и сумма моментов её сил относительно какой-нибудь точки О, т.е.

, (1)

(2)

В самом деле, равенства (1) и (2) означают, что в результате приведения системы { F ₁, …, F _n }к центру О получаем эквивалентную ей пустую, а значит уравновешенную систему сил.

Обратное утверждение следует из того факта, что уравновешенная система сил эквивалентна пустой системе, а для последней равенства (1) и (2) очевидно выполняются.

При выполнении расчетов вместо векторного равенства (1) используют его проекции на оси координат. В результате получаются три скалярных уравнения

, , (3)

равносильных условиям (1) - (2).

Т.о. для уравновешенности произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю суммы проекций всех сил системы на оси Ox и Oy, а также сумма моментов её сил относительно какой-нибудь точки.

В качестве демонстрации использования уравнений (3) рассмотрим следующий

Пример. Однородный брус весом Q = 800 H опирается на шарнир А и удерживается в горизонтальном положении канатом ВС (рис.12).

Найти реакцию шарнирной опоры А и натяжение каната ВС.

Решение. На брус действуют: заданная сила веса Q и неизвестные - натяжение каната Т и реакция опоры А, которую разложим на две составляющие Х _А и Y _А (рис.13).

Запишем условия уравновешенности (3) для плоской системы сил Q, Т, Х _А, Y _А :

, (4)

, (5)

, (6)

Здесь плечо h силы Т можно найти из Δ АВК: h = АВ sin30º = 0,5 АВ.

Решая уравнения (4) – (6), находим реакции Т, Х _А, Y _А:

,

,

Дата добавления: 2014-01-13