Свойства ф-й, непрерывных на отрезке

Ф-ия называется непрерывной на отрезке [ a,b ], если она непрерывна на интервале(a,b) и в т. а непрерывна справа а в т. b – слева.

Т₁: Ф-ия , непрерывная на [ a,b ], ограничена на этом отрезке.

- непрерывная на [ a,b ]

D(f): число М называется наибольшим значением ф-ии на отрезке [ a,b ], если существует такое число .

D(f):точка называется наименьшим значекнием ф-ии на [ a,b ], если

Т₂: ф-ия , непрерывная на [ a,b ],имеет на [ a,b ] наибольшее и наименьшее значения.

Т_3: *************

Sl₁: e(f) ф-ии, непрерывной на отрезке, является отрезок

Sl₂ (Т₃): ф-ия, непрерывная на отрезке [ a,b ], имеющая различные по знаку значения, на его границах обязательно обращается в ноль, хотя-бы в одной точке этого отрезка.

*******************************************

Дифференциальное счисление.

Ф-ия одной переменной.

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

3.1. Задача о вычислении скорости точки, движущейся вдоль прямой.

Пусть точка движется вдоль прямой х.

****************************************** - l- единичный вектор, задающий направление вдоль прямой.

3.2 Построение касательной к кривой с уравнением в т. х₀.

********************

Задачи, различные по смыслу, из разных областей науки, свелись к вычислению одного и того же предела. В таких случаях в математике абстрагируются от крнкретных задач и изучают отдельно предел ф-й.

Определение призводной ф-ии в точке.

Обозначение:

Df 1 Производной ф-ии в т. х называют предел отношения приращения ф-ии в этой т. к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

Пример:

- непрерывная.

Степень ф-ии с вещественным показателем.

Справка: .

Геометрический смысл производной.

Из второй задачи следует, что поизводная ф-ии в т. х₀ =тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику ф-ии в этой точке.

Sl1: Уравнение касательной к кривой. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит, и угловой коэффициент

где x и y – координаты т. на касательной.

Sl2: Уравнение нормали. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент

, x и y – точки на нормали.

Механический смысл производной.

************

Дифференцируемость ф-ии.

Df: Ф-ия дифференцируема в точке х₀, если приращение ф-ии в точке сможет быть представлено в виде:

, А – const.

Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Доказательство: (необходимость)

(достаточность):

Производная суммы, произведения, частного.

Dh:Пусть ф-ия и дифференцируемы в точке х₀, тогда в этой точке дифференцируемы их сумма, произведение и частное, причем выполняются формулы:

1.

2.

3. , если

Лемма: Ф-ия, дифференцируема в точке х₀, непрерывнна в этой точке.

- дифф. в т. х₀

обратное утверждение неверно!!!

Производная от const ф-ии =0.

Если

Доказательство:

Zm1: При вычислении производной, константу можно выносить за знак производной.

Zm2: Данные формулы можно рассматривать на большее число слагаемых и сомножителей.

Df: Линейным колебанем системы из т. ф-ийназывается сумма призведения этих ф-ий на производную и постоянную.

Zm: Свойство линейности производной.

Из доказанных свойств, следует, что производная от линейных колебаний ф-й = линейные комбинации призводных.

Производная от обратной ф-ии.

Dh: Пусть в точке х₀ имеет:

1.

2. на промежутке, содержащем х₀, обратную ф-ию

3.

тогда в точке х₀ существует , равная

Дата добавления: 2014-01-13