Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Игра 2–х лиц без седловой точки. Смешанные стратегии

Одна из возможностей расширения стратегий игроков – разнообразить способ выбора своей стратегии, например, «случайно».

Как мы уже отмечали, в отсутствии Седловой точки, игрок А, применяя свою максиминную стратегию, выиграет не менее , а игрок В, применяя свою минимаксную стратегию, проигрывает не более , где . Применение чистых стратегий в каждой партии такой игры не дает возможность игрокам увеличить выигрыш , чем уменьшить проигрыш . Для того, чтобы это было возможным необходимо применять не одну, а несколько чистых стратегий, чередуя их случайным образом с какими–то частотами. Такая стратегия получила название смешанной (ее элементами являются чистые стратегии).

Смешанная стратегия имеет смысл при условии, что игра состоит более чем из одной партии.

Обозначим смешанные стратегии игроков А и В через

и , где

– вероятность (частота) применения игроком А чистой стратегии , – вероятность (частота) принятия игроком В чистой стратегии .

Причем и .

Чистые стратегии игроков А и В, для которых вероятности и отличны от 0, называются активными.

Теорема (основная теорема теории игр) (теорема минимакса).

Любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение (т.е. пару оптимальных стратегий, в общем случае смешанных) и соответствующую цену.

Решение игры, не имеющей Седловой точки, может осуществляться различными методами. Рассмотрим наиболее важные из них.

 

3.1. Графическое решение игр вида (2×n) и (m×2)

Этот метод применим только к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Рассмотрим следующую игру (без Седловой точки)

Ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, представлены в таблице

 

В А

 

Отсюда видно, что ожидаемый выигрыш игрока А линейно зависит от . В соответствии с критерием минимакса игрок А должен выбирать так:

 

Чистые стратегии игрока В Ожидаемые выигрыши игрока А
 
 
N

 

Пример:

Вj Аi В1 В2 В3
  А1 доминирующая одинаковые
В4

А1       6
А2        
А3        
А4        

 

Замечания: Стратегии, для которых есть доминирующие и дублирующие стратегии можно отбрасывать.

 

Вj Аi В1 В2 В3 В4
А1        
А4        

В3 доминирующая

 

 

Вj Аi В1 В2 В4  
А1        
А4        
         

        Чистая стратегия Игрок В Ожидаемый выигрыш игрока А   – цена игры
  –6х1 + 8  
  –2х1 + 6  
  1 + 1  
     
  Чистая стратегия Игрока А   Ожидаемый выигрыш Игрока В
  –4у1+6
  1+1
   

 
 


 

3.2. Решение игр “m×n” симплекс–методом

Допустим, что все элементы платежной матрицы положительны. Этого можно добиться, добавив ко всем членам матрицы достаточно большое число М. Это приведет к увеличению цены игры на М, а оптимальное решение и не изменится.

B A q1 q2 qn
p1 α11 α12 α1n
p2 α21 α12 α2n
pm αm1 αm2 αmn

 

Найдем сначала . На основе принципа целесообразности.

где

Очевидно:

Таким образом, решение игры свелось к следующей задаче

 

(1) – это задача линейного программирования

Оптимальная стратегия игрока В находится аналогично. Она является решением задачи.

 

(2)

 

Нетрудно видеть, что задачи (1) и (2) – пара двойственных задач. Следовательно, .

 

 


 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Игра полковника Блотто | Лекция № 5. Особенности мотивации деятельности
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 873; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.