Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метрические пространства




Условия равновесия системы пар сил

- векторная форма (8.9)

 

- в проекциях на оси координат (8.10)

 

Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действи­тельных чисел (т. е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действи­тельных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства - одному из важнейших понятий современной математики.

Метрическим пространством называется пара (Х, r), состоящая из некоторого множества (пространства) Х элементов (точек) и расстояния, т. е. неотрица­тельной действительной функции r(х,у), определенной для лю­бых х и у из Х и подчиненной следующим трем аксиомам:

1) r(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,

2) r(х, у) = r(у, х) (аксиома симметрии),

3) r(х, г) r(х, у) + r (у, г) (аксиома треугольника).

Само метрическое пространство, т. е. пару (Х, ρ), мы будем обозначать, как правило, одной буквой:

R = (X, ρ).

В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем за­частую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам «запас точек» X.

Приведем примеры метрических пространств. Некоторыеизэтих пространств играют в анализе весьма важную роль.

1. Положив для элементов произвольного множества

мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно на­звать пространством изолированных точек.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

ρ(х, у) = | х - у |

образует метрическое пространство R 1.

3. Множество упорядоченных наборов из п действительных чи­сел с расстоянием

называется п -мерным арифметическим евклидовым пространством R n.

4. Рассмотрим то же самое множество наборов из п действительных чи­сел , но расстояние опре­делим в нем формулой

Справедливость аксиом 1)-3) здесь очевидна. Обозначим это метрическое пространство символом R n 1.

5. Возьмем снова то же самое множество, что и в приме­рах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами фор­мулой

Справедливость аксиом 1)-3) очевидна. Это пространство, ко­торое мы обозначим R n ¥ во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство R n.

Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метриче­ского пространства и для множества его точек, так как один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.

6. Множество С [a, b] всех непрерывных действительных функ­ций, определенных на отрезке [a, b] с расстоянием

также образует метрическое пространство. Аксиомы1)-3) про­веряются непосредственно. Это пространство играет очень важ­ную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же симво­лом С [a, b], что и само множество точек этого пространства.

7. Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех функ­ций, непрерывных на отрезке С [a, b], но расстояние определим иначе, а именно, положим

Такое метрическое пространство мы будем обозначать С 2 [a, b] и называть пространством непрерывных функций с квад­ратичной метрикой.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 452; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.