Определения вероятности случайного события

С конца 19 века под вероятностью случайного события стали понимать меру объективной возможности, количественную степень возможной реализации события в определенных условиях, а применение этого понятия стало предлагать обязательный учет следующих моментов:

1) невозможность предсказания точного результата некоторого действия, испытания, эксперимента;

2) возможность повторения действия испытания или эксперимента в первоначальном комплексе условий бесконечное число раз;

3) невозможность точного предсказания результатов не только первого действия, испытания или эксперимента, но и каждого следующего.

В теории вероятностей существует несколько подходов к определению вероятности случайного события: 1) статистический; 2) классический и 3) аксиоматический.

Определение 18. Относительной частотой (частотой) случайного события А называют отношение k числа исходов испытания, в которых событие А наступило к общему числу испытаний n.

Определение 19. Статистической вероятностью события А называют число Р (А), около которого группируются значения относительной частоты этого события при больших n.

Пример 14. Рассмотрим результаты бросания монеты 500, 1000, 1500, … раз и соответствующие им относительные частоты наступления события Г = {Выпал герб}.

Число испытаний
Относительная частота	0,50060	0,50150	0,50040	0,49785	0,49908	0,49827	0,49846	0,49965	0,50053	0,50034	0,50055	0,50040	0,49975	0,50053	0,49935	0,49970	0,49985	0,49961	0,49932	0,49925

Из таблицы видно, что с возрастанием числа испытаний колебания относительной частоты уменьшаются. Этот факт и является основанием для введения статистического определения вероятности.

Определение 20. События А₁, А₂, …, А_n называют равновозможными, если при реализации данного комплекса условий никакое из этих событий не обладает преимуществом наступать чаще остальных.

Определение 21. События А₁, А₂, …, А_n называют элементарными событиями, если они образуют полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий.

Определение 22. Классической вероятностью Р (А) события А называют отношение числа k элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу n всех элементарных событий.

Пример 15. Проводится испытание по бросанию игрального кубика. Найти вероятность события А = {Выпало число очков, кратное трем}.

Решение. События А_i = {Выпало i очков} образуют элементарные события. Следовательно, вероятность события А равна 2/6, т.к. А ₃ и А ₆ – исходы благоприятствующие событию А, и всего элементарных исходов шесть.

При аксиоматическом подходе к определению вероятности перечисляются ее свойства:

АI.

АII.

АIII.

Свойства вероятности:

1^°.

2^°.

3^°.

4^°.

5^°. Если А₁, А₂, …, А_n попарно несовместимые, то

Определение 23. Сигма-алгеброй (s-алгеброй) событий S называют систему подмножеств пространства элементарных исходов W, замкнутую относительно счетного числа теоретико-множественных операций (и`).

Замкнутость множества натуральных чисел относительно операций сложения и умножения означает, что результат этих операций над натуральными числами снова будет натуральным числом. Так как подмножество W является событием, то операции над событиями, перечисленные выше, снова дают в результате события из W.

Аксиоматическое определение вероятности в более точной формулировке следующее.

Определение 24. Пусть каждому событию А (т.е. подмножеству А пространства элементарных исходов W, принадлежащему s-алгебре S) поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р(А), заданную на s-алгебре S, называют вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. .

Задание вероятностного пространства (W, S, Р) полностью определяют некоторую ситуацию (проведение испытания, определение неизвестных вероятностей и т.п.).

Пример 16. Построить вероятностное пространство для испытания с бросанием двух монет.

Решение. Построить вероятностное пространство – значит определить W, S и Р: = {Г, Р}; S = {, ГГ, ГР, РГ, РР}; Р: Р(ГГ) = 1/4, Р(ГР) = 1/4, Р(РГ) = 1/4, Р(РР) = 1/4.

Дата добавления: 2014-01-11