Повторение испытаний

Теория вероятностей имеет дело с такими комплексами условий, при которых испытания можно повторять, по крайней мере теоретически, бесконечное количество раз, и при этом наступление или ненаступление некоторого события в каждом испытании не будет зависеть от исходов проведенных испытаний.

Пусть эксперимент состоит в n -кратном повторении испытания, в котором с вероятностью р может наступить некоторое событие А или не наступить с вероятностью 1 – р = q (испытания независимые). Результат каждого эксперимента можно записать как событие , в котором на k-ом месте символ А означает, что событие наступило, или символ означает, что событие не наступило. Это схема испытаний Бернулли.

Пространство W элементарных исходов состоит из 2ⁿ исходов, состоящих из событий . А s-алгебра событий S включает событий. Сопоставим каждому элементарному исходу его вероятность:

Теорема 12. Вероятность того, что событие А в серии из n независимых испытаний наступит ровно k раз, равна произведению (формула Бернулли).

Пример 24. Найдите вероятность того, что в серии из 10 испытаний по бросанию монеты появятся 4 герба.

Решение. Появление «герба» или «решки» при следующем бросании монеты не зависит от того, что выпало раньше (испытания независимые). Вероятность появления герба при одном бросании монеты равно р = 1/2, а вероятность непоявления – q = 1/2. Отсюда при n = 10 и k = 4 равно

Теорема 13. Если число испытаний n в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха р в одном испытании мала (также мало произведение nр = l), то вероятность определяется по приближенной формуле (формула Пуассона)

Пример 25. Завод отправил на базу 4000 лампочек. Вероятность повреждения лампочки при перевозке равна 0,00025. Найдите вероятность того, что поврежденными окажутся 40 лампочек.

Решение. Из условия имеем, что n =4000 (велико), np = 1 и р = 0,00025 (мало). Отсюда по формуле Пуассона имеем Если бы вычисления велись по формуле Бернулли, то пришлось бы вычислять n! или большие произведения, что обременительно, поэтому и используют формулу Пуассона. По формуле Бернулли имеем

Последний множитель (степень) легко считается на калькуляторе, но предыдущая степень, посчитанная на калькуляторе, равна нулю, и перемножение 3961 × 3962 × … × 4000 не только занимает время, но и приводит к переполнению (ошибке). Однако если это посчитать, то незначительно отличается от результата формулы Пуассона, т.е. первый результат достаточно близок к реальному.

Наряду с формулами Бернулли и Пуассона для вычисления вероятности в схеме Бернулли используют локальную и интегральную формулы Муавра-Лапласа, которые следует применять, когда велики n, np и nq.

Теорема 14. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то для всех k справедлива формула (локальная формула Муавра-Лапласа):

, где

Пример 26. Проводится эксперимент по подбрасыванию монеты 1000000 раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет 500100 раз.

Решение. Из условия имеем n = 1000000, np = 500000, nq = 500000 (велики),

Отсюда

Теорема 15. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то для вероятности того, что число успехов k будет заключено в отрезке , справедлива формула (интегральная формула Муавра-Лапласа):

Для функций и составлены таблицы значений (см. Приложения). Функция – плотность стандартного нормального распределения – четная функция, – функция нормального распределения – нечетная функция и – интеграл Лапласа.

Пример 27. Проводится эксперимент по подбрасыванию монеты 1000000 раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет не более 111111 раз.

Решение. По условию k₁ = 0, k₂ = 111111, n = 1000000,

Отсюда и из таблицы приложения

Пример 28. Вероятность того, что лампочка не пройдет проверку отдела технического контроля, равна 0,15. Найдите вероятность того, что среди 500 случайным образом отобранных лампочек бракованными окажутся от 80 до 100 лампочек.

Решение. По условию k₁ = 80, k₂ =100, n = 500, р = 0,15, q = 0,85; Отсюда: Тогда

Дата добавления: 2014-01-11