Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. называется знакочередующимся

Определение. Ряд вида

где (3)

называется знакочередующимся. Сходимость – расходимость знакочередующихся рядов устанавливается по признаку Лейбница. Он формулируется следующим образом.

Если члены знакочередующегося ряда (3) монотонно убывают по абсолютной величине, стремясь при этом к нулю, то есть если

a₁ > a₂ > a₃ > …, и , (4)

то знакочередующийся ряд (3) сходится, причем его сумма S заключена в интервале 0 < S < a₁, то есть не превосходит первого члена ряда.

Доказательство.

1. Сначала рассмотрим произвольную частичную сумму S_2m с четным числом слагаемых ряда (3). Учитывая монотонное убывание (4) членов ряда, приходим к выводу, что

S_2m = (a₁ – a₂) + (a₃ – a₄) + … + (a_2m-1 – a_2m) > 0, (5)

причем с ростом m сумма S_2m возрастает. С другой стороны, для любого m имеем:

S_2m = a₁ – (a₂ – a₃) – (a₄ – a₅) – … – (a_2m-2 – a_2m-1) – a_2m < a₁ (6)

В силу условия (4) каждая скобка положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из а₁ мы получим число меньшее чем а₁. Таким образом, с увеличением m частичная сумма S_2m монотонно растет, но всегда меньше a₁. Отсюда по теореме Вейерштрасса следует, что существует

, причем S < a₁ (7)

Напомним формулировку теоремы Вейерштрасса.

Дата добавления: 2014-01-13