Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Знакопеременные ряды




Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Другими словами такие ряды называются числовыми рядами с произвольными по знакам слагаемыми.

Пусть ряд - числовой ряд с произвольными по знакам слагаемыми. Наряду с этим рядом рассмотрим положительный числовой ряд , то есть ряд, составленный из модулей слагаемых исходного ряда . Справедлива следующая теорема:

1. Если ряд сходится, то автоматически сходится и ряд , причем сходимость последнего называется абсолютной. (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда, но не необходимый)

2. Ряд может сходиться несмотря на то, что ряд расходится. Тогда сходимость ряда называется условной.

Доказательство. Пусть

(11)

- n -ые частичные суммы рядов и соответственно. Для указанных частичных сумм, очевидно, имеем:

; (12)

Здесь - сумма положительных слагаемых, входящих в , а - сумма модулей отрицательных слагаемых, входящих в . Положительные суммы и , очевидно, растут с увеличением n.

1) Если ряд сходится, то - конечное положительное число, являющееся суммой ряда . Но , поэтому и . А так как возрастающая с номером частичная сумма при любом n меньше своего предела , то и растущие с номером n величины и тоже при любом номере n меньше . По теореме Вейерштрасса (формулировку см. выше) приходим к выводу, что при n ® ∞ величины и имеют некоторые конечные положительные пределы и , каждый из которых меньше , но которые в сумме составляют :

(13)

Но тогда

(14);

- конечное число. А это значит, что и ряд сходится. Пункт 1 теоремы мы доказали.

2) Если ряд расходится, то его сумма . Это значит, что по крайней мере одна из положительных сумм и равна +∞ (одна или обе). Но их разность не обязательно будет бесконечной: в случае, когда и , сумма (сумма ряда ) может оказаться и конечной. То есть, ряд может оказаться сходящимся несмотря на то, что ряд из его модулей будет расходящимся. В таком случае ряд будет сходиться, но условно.

Абсолютно и условно сходящиеся ряды кардинально различаются по характеру своей сходимости. А именно, любая перестановка слагаемых в абсолютно сходящемся ряду не меняет его суммы. Он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. А вот если ряд сходится условно, то за счет соответствующей перестановки слагаемых его сумму можно сделать какой угодно.

Действительно, если ряд сходится абсолютно, то сумма его положительных слагаемых и сумма модулей его отрицательных слагаемых – два конечных положительных числа. При любой перестановке слагаемых эти суммы не меняются, а следовательно, не меняется и сумма всего ряда. А вот если ряд сходится условно, то и , а - конечное число. Но тогда имеется возможность отдельно из положительных и отдельно из отрицательных слагаемых ряда набрать любую сумму. А значит, и итоговую сумму всего ряда можно сделать какой угодно.

Пример 3. Знакочередующийся ряд

(15)

сходится по признаку Лейбница. Но сходится условно, так как ряд

, (16)

составленный из модулей ряда (15), расходится ((16) – гармонический ряд). Значит, у данного знакочередующегося ряда (15) есть конечная сумма S

, (17)

но эту сумму можно изменить за счет перестановки слагаемых ряда.

Подтвердим это. Для этого переставим слагаемые ряда так, чтобы в нем после одного положительного слагаемого следовали два отрицательных:

(18)

Как видим, такая перестановка слагаемых ряда привела к уменьшению его суммы в два раза.

Такое необычное поведение условно сходящегося ряда (1.40), как и вообще всех условно сходящихся рядов, связано с тем, что его сходимость обусловлена не высокой скоростью убывания слагаемых (как это имеет место у абсолютно сходящихся рядов), а лишь взаимной компенсацией медленно убывающих чередующихся положительных и отрицательных слагаемых. При перестановке слагаемых нарушается эта взаимная компенсация слагаемых ряда, а следовательно, меняется и его сумма. Разумеется эти вещи возможны только при условии, что количество слагаемых бесконечно.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

где любое число.

Решение. Наряду с данным рядом, рассмотрим ряды

а) и б) . Ряд б) сходится как обобщенный гармонический ряд с . Члены ряда а) не больше соответственных членов ряда б), следовательно, по признаку сравнения знакоположительных рядов, ряд а) тоже сходится. Таким образом, по доказанной теореме данный знакопеременный ряд также сходится.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 645; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.