Оценка закона распределения

Элементы математической статистики

Лекция 54

Генеральной совокупностью называется множество объектов, из которых производится выборка. Каждый из объектов задает фиксированное значение случайной величины.

Выборка – множество случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности.

Объемом выборки n называется число входящих в нее объектов.

Вариационным рядом называется выборка , полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения называются вариантами.

Эмпирическая функция распределения определяется формулой

(54.1)

Эмпирическая функция распределения является наилучшей оценкой функции распределения (несмещенной, состоятельной, эффективной).

Если анализируемая случайная величина Х является дискретной с известным множеством значений , то по исходной выборке объемом n определяется статистический ряд распределения вероятностей:

где – частота появления j -го значения,

- число значений в выборке.

Если анализируемая случайная величина Х является непрерывной, то по исходной выборке строится интервальный статистический ряд вероятностей:

j
М

где j - номер интервала;

М - число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений :

(54.2)

где – целая часть числа x. Желательно, чтобы n без остатка делилось на M;

, – левая и правая границы j -го интервала , причем ;

- длина j -го интервала;

- количество чисел в выборке, попадающих в j -й интервал;

- частота попадания в j -й интервал;

- статистическая плотность вероятности в j -м интервале.

При построении интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы:

1) Равноинтервальный, т.е. все интервалы одинаковой длины:

(54.3)

. (54.4)

2) Равновероятностный, т.е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы n без остатка делилось на M):

(54.5)

(54.5)

Гистограмма – статистический аналог графика плотности вероятности случайной величины и она строится по интервальному статистическому ряду. Гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах статистического ряда с высотой, равной статистической плотности вероятности в соответствующем интервале. Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного метода – одинаковую площадь. Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна 1.

Пример 54.1. Задана выборка случайной величины X: {4, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4, 4,5}. Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения .

Решение. Вариационный ряд случайной величины имеет вид {2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5}.

Определяем значения эмпирической функции распределения по формуле (54.1):

График функции имеет вид (рис. 54.1):

Рис. 54.1.

Замечание. В каждой точке оси x, соответствующей значениям , функция имеет скачок. В точке разрыва непрерывна слева и принимает значение, выделенное знаком .

Пример 54.2. Вариационный ряд случайной величины x имеет вид:

-6,237 -6,229 -5,779 -5,139 -4,950 -4,919 -4,636 -4,560 -4,530 -4,526 -4,523 -4,511 -4,409

-4,336 -4,259 -4,055 -4,044 -4,006 -3,972 -3,944 -3,829 -3,794 -3,716 -3,542 -3,541 -3,431

-3,406 -3,384 -3,307 -3,181 -3,148 -3,124 -3,116 -2,892 -2,785 -2,734 -2,711 -2,637 -2,633

-2,428 -2,381 -2,339 -2,276 -2,222 -2,167 -2,111 -2,034 -1,958 -1,854 -1,803 -1,774 -1,755

-1,745 -1,713 -1,709 -1,566 -1,548 -1,480 -1,448 -1,353 -1,266 -1,229 -1,179 -1,130 -1,102

-1,060 -1,046 -1,035 -0,969 -0,960 -0,903 -0,885 -0,866 -0,865 -0,774 -0,721 -0,688 -0,673

-0,662 -0,626 -0,543 -0,445 -0,241 -0,174 -0,131 0,115 0,205 0,355 0,577 0,591 0,795

0,986 1,068 1,099 1,195 1,540 2,008 2,160 2,534 2,848.

Построить гистограмму равноинтервальным и равновероятностным методами.

Решение. Объем выборки равен 100. Количество интервалов определяем по формуле: .

Для равноинтервального метода построения интервального статистического ряда вероятностей величины рассчитаны по формулам (54.3), (54.4):

j
	-6,237	-5,3345	0,9085		0,03	0,033
	-5,3345	-4,426	0,9085		0,09	0,099
	-4,426	-3,5175	0,9085		0,13	0,143
	-3,5175	-2,609	0,9085		0,14	0,154
	-2,609	-1,7005	0,9085		0,16	0,176
	1,7005	-0,792	0.9085		0,19	0,209
	-0,792	0,1165	0,9085		0,12	0,132
	0,1165	1,025	0,9085		0,06	0,066
	1,025	1,9335	0,9085		0,04	0,044
	1,9335	2,848	0,9085		0,04	0,044

Равноинтервальная гистограмма имеет вид (рис. 54.2):

Рис. 54.2.

Для равновероятностного метода построения интервального статистического ряда вероятностей величины , , рассчитаны по формулам (54.5), (54.6):

j
	-6,2370	-4,5245	1,7125		0,1	0,0584
	-4,5245	-3,8865	0,6380		0,1	0,1567
	-3,8865	-3,1645	0,7220		0,1	0,1385
	-3,1645	-2,4045	0,7600		0,1	0,1316
	-2,4045	-1,7885	0,6160		0,1	0,1623
	-1,7885	-1,3095	0,4790		0,1	0,2086
	-1,3085	-0,9319	0,3766		0,1	0,2655
	-0,9319	-0,5843	0,3476		0,1	0,2877
	-0,5843	0,6932	1,2775		0,1	0,0783
	0,6932	2,8480	2,1548		0,1	0,0464

Равновероятностная гистограмма имеет вид (рис. 54.3):

Рис. 54.3.

Дата добавления: 2014-01-13