Интервальные оценки числовых характеристик

Доверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью (надежностью) попадают значения параметра Q. Вероятность выбирается близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Доверительный интервал надежностью для математического ожидания случайной величины X с неизвестным законом распределения:

(54.13)

где – значение аргумента функции Лапласа (см. приложение 2).

Доверительный интервал надежностью для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X:

(54.14)

где -значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента (см. приложение 2).

Доверительный интервал надежностью для дисперсии случайной величины X с неизвестным законом распределения:

(54.15)

где – значение аргумента функции Лапласа (см. приложение 2).

Доверительный интервал надежностью для дисперсии нормально распределенной случайной величины X_:

(54.16)

где – значения, взятые из таблицы распределения (см. приложение 2).

Доверительный интервал надежностью для вероятности события A в схеме независимых опытов Бернулли

(54.17)

где - частота появления события A в n опытах;

т - число опытов, в которых произошло событие A;

п - число проведенных опытов.

Пример 54.5. Производится серия независимых опытов с целью определения вероятности события A. В 100 опытах событие произошло 40 раз. Частота события принимается за приближенное значение вероятности этого события. Найти вероятность того, что допущенная при этом ошибка меньше 0,1.

Решение. Необходимо найти надежность следующего доверительного интервала:

т.е. (см. формулу (54.17)).

С учетом того, что искомая вероятность

Пример 54.6. Найти минимальный объем выборки, при котором с вероятностью 0,95 точность оценки математического ожидания случайной величины по выборочному среднему равна 0,2, если .

Решение. Из условия задачи известно, что

В соответствии с формулой (54.13) точность оценки математического ожидания

Из таблицы функции Лапласа выбираем значение

Следовательно,

Пример 54.7. По результатам 10 измерений определена несмещенная оценка дисперсии . Определить доверительный интервал для дисперсии с надежностью 0,96.

Решение. Воспользуемся формулой (54.16), так как погрешности измерений, как правило, распределены по нормальному закону. Из таблицы выбираем значение .

Поэтому .

Дата добавления: 2014-01-13