Математическое моделирование и вычислительный эксперимент

Схема вычислительного эксперимента. Эффективное решение крупных естественно-научных задач сейчас невозможно без применения ЭВМ. В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Пусть, например, требуется исследовать какой-то объект, явление, процесс. Тогда схема вычислительного эксперимента выглядит так, как показано на рис. 1.

рис. 1

Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования (I) и строится соответствующая математическая модель (II), представляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.д.).

При выборе физической и, следовательно, математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в виде уравнений математической физики. Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия и др.) эти уравнения можно заменить линейными.

После того, как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. Но что значит решить математическую задачу? Только в исключительных случаях удается найти решение в явном виде, например, в виде ряда. Иногда утверждение “задача решена” означает, что доказано существование и единственность решения. Ясно, что этого недостаточно для практических приложений. Необходимо еще изучить качественное поведение и найти те или иные количественные характеристики.

Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как следствие, развитие численных методов (III).

Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели (“дискретная модель”), которая доступна для реализации на ЭВМ. Например, если математическая модель представляет собой дифференциальное уравнение, то численным методом может быть аппроксимирующее его разностное уравнение совместно с алгоритмом, позволяющим отыскать решение этого разностного уравнения. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел.

Чтобы реализовать численный метод, необходимо составить программу для ЭВМ (IV) или воспользоваться готовой программой.

После отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов (V). Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и, при необходимости, вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.

Такова в общих чертах схема вычислительного эксперимента. Его основу составляет триада:

модель ‑ метод (алгоритм) ‑ программа.

Опыт решения крупных задач показывает, что метод математического моделирования и вычислительный эксперимент соединяют в себе преимущества традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования. Можно указать такие крупные области применения вычислительного эксперимента как энергетика, аэрокосмическая техника, гидродинамика, совершенствование технологических процессов.

2. Вычислительный алгоритм. Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, потому что на каждом этапе вносятся те или иные погрешности. Так, построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных.

Алгоритм называется устойчивым, если в процессе его работы вычислительные погрешности возрастают незначительно, и неустойчивым ‑ в противном случае. При использовании неустойчивых вычислительных алгоритмов накопление погрешностей вычисления приводит в процессе счета к переполнению арифметического устройства компьютера.

Дата добавления: 2014-01-13