Структурные средние. 1. Мода наиболее часто встречающееся значение

1. Мода наиболее часто встречающееся значение

Рисунок 2

· Уточненная мода

ü -

при х = 2 y =0.4

при x =4.6 y = 0.3

0.4 = -

0.3 = -

0.1 = 2.6

= = 0.038

= 0.4+0.038*2 = 0.476

ü +

При x = 2 z = 0

При x = 4.6 z = 0.4

0 = +

0.4 = +

0.4 =

= = 0.154

0 = +

= - 0.308

Z = -0.308 + 0.154x

0.476 – 0.308x = -0.308 + 0.154x

0.778=0.462x

X=1.7

2+1.7 = 3.7 – уточненная мода

↓

Начало модального интервала

2. Медиана

- делит площадь дифференциального знака и гистограммы пополам.

Вероятность попадания случайной величины слева и справа от медианы является одинаковой и равна 0,5.

Рисунок 3

Пример:

Находим медианный интервал

S_cл = 0 <S_спр= 1

S_cл = 0,4<S_спр=0,6

S_сл = 0,7>S_спр= 0,3 – медианный интервал

0,4

1,04 + 0,3x = 0,78 –0,3x + 0,78

0,6x=0,52

x=0,86

Медиана равна 4,6+0,68 =5,46

Начальный и центральный момент k-го порядка

· Начальный момент

· Центральный момент

ЦМ =

Расчет числовых характеристик на основе числового ряда

Средние

N– предприятий

–степень выполнения плана - предприятием

= , n N

–– число предприятий

– фактическое значение показателя

– плановое значение показателя

– степень выполнения плана при= ,

1) =

2) =

= ,при= , – средняя взвешенная

= = – средняя арифметическая

= – средневзвешенная гармоническая

= – средняя гармоническая

– веса

· Средняя взвешенная

=

· Средняя арифметическая

=

· Средневзвешенная гармоническая

=

· Средняя гармоническая

=

Существуют эмпирические и теоретические законы распределения.

· Эмпирические законы – те законы, которые строятся на основе исходных данных.

· Теоретические законы – те законы, что заранее имеют арифметические выражения.

Эмпирические законы приближены к одному из теоретических законов.

Критерии согласия:

1) Пирсона

Мерой расхождения берем середину интервалов.

– вероятность соответствия теоритическому закону

– вероятность соответствия для эмпирического закона

– число интервалов эмпирического закона распределения

– мера расхождения по Пирсону.

Как найти ,

Предлагается использование метода моментов

M(x) – теоритический закон

– эмпирический закон

M(x) =

Где M(x) и–– математическое ожидание и среднеквадратическое отклонениедля теоретического закона,M(x) и –– математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение для эмпирического закона распределения случайных величин.

Данные, которые мы используем для построения эмпирических законов это некоторая выработка с имеющим ограничения числом значений, в которой возможна ошибка.

u – конкретное значение некоторой случайной величины

Доказана, что СВ u подчиняется закону распределения: зависит от числа степеней свободы.

P(U>u)

U – большое значение

u – малое значение

Если P(U > u) правдоподобно

⇓

Гипотеза о соответствии теоритического и эмпирического законов распределения принимается.

Если P(U>u) не правдоподобна

⇓

Гипотеза не принимается.

Необходимо учитывать число значений, при малом числе значений может быть ошибка:

Таблица 1

а m	0,98	0,95	0,8	0,2
	0,00063	0,00393	0,064	1,642
	0,752	1,145	2,343	7,289
	2,532	3,325	5,380	12,242
	5,985	7,262	10,307	19,311

Построение двухмерного закона распределения

· Гистограмма по

Рисунок 4

· Гистограмма по

Рисунок 5

Двухмерная гистограмма

Рисунок 6

1 5+7+10=22

2 4+6+9=19

3 4+6+9=19

19+19+22=60

Рисунок 7

Двухмерный интегральный закон распределения:

1) Найти связь между двухмерным и одномерным

– связь.

, –– условная плотность распределения.

–– вероятность различных значений y, при xзаданный значениях x.

–– вероятность различных значений х при заданных значениях y.

Условие вероятностии может находиться по формулам. Эти формулы используют, когда x и y связаны между собой

Когда xи y не связаны между собой:

2-й учебный вопрос

Построение гистограммы.

Построение гистограммы осуществляется следующим образом.

1. Осуществляется упорядочение значений исходного ряда значений рассматриваемой случайной величины; это упорядочение сводится к тому, что значения случайной величины располагаются в порядке их возрастания от минимального к максимальному значению.

2. Находится размах вариации как разность между максимальными минимальным значением случайной величины.

3. Задается число интервалов гистограммы. Обычно оно берется таким, чтобы в среднем на каждый интервал попадало не менее трех значений случайной величины. Например, если число значений случайной величины равняется 10, то заданное число интервалов должно равняться трем, если число значений случайной величины равняется 15, то заданное число интервалов гистограммы должно равняться пяти.

4. Размах вариации делится на заданное число интервалов гистограммы. В результате находится длительность одного интервала гистограммы. Это значение может округляться, но только в большую сторону. Иначе фактическое число интервалов гистограммы будет больше его заданного значения.

5. Дальше находятся границы интервалов гистограммы. Для этого используется формула

(1)

и т.д.

где x_min – минимальное значение случайной величины x;

D – длительность интервала гистограммы.

6. Находится число попаданий значений случайной величины в интервалы. В результате определяются значения гистограммы. Сама гистограмма имеет вид ступенчатой функции, по оси абсцисс даны границы интервалов, по оси ординат – число значений случайной величины, попадающих в эти интервалы.

Возможна ситуация, когда какое-либо значение случайной величины x попадает на границу двух ближайших между собой интервалов. В этом случае возникает неопределенность относительно того, к какому из интервалов отнести данное значение. Тогда используется следующее решение. В соответствии с ним ранее полученное значение длительности интервала гистограммы корректируется в большую сторону. Снова определяются границы интервалов и снова находится число попаданий значений случайной величины в заданные интервалы.

Корректировка длительности интервала гистограммы может осуществляться не один раз и она заканчивается тогда, когда ни одно из значений случайной величины не попадает на границу близлежащих между собой интервалов.

Полигона или многоугольник распределения строится по гистограмме. Для этого значения гистограммы ставятся в соответствие значениям, соответствующим окончанию интервалов гистограммы.

Кумулята представляет собой накопленные значения полигоны. В результате этого последнее значение кумуляты соответствует числу значений исходного ряда случайной величины. Значения кумуляты также как и полигоны соответствуют значениям, соответствующим окончанию интервалов гистограммы.

Исходный числовой ряд или значения СВ:

2; 7; 8; 3; 4.5; 5.7; 6.2; 2.5; 8.4; 9.6

1. Законы распределения

· Построение гистограммы

1) Осуществляется упорядочивание исходного вариационного ряда, т.е. все значения ряда размещаются, начиная с минимального и заканчивая максимальным:

2; 2.5; 3; 4.5;5.7; 6.2; 7;8; 8.4; 9.6

2) Определяется размах вариации

V_вар = 9,6 – 2 = 7,6

Из максимального значения ряда отнимается минимально значение.

3) Задается число интервалов в гистограмме (желательно, что бы в каждый интервал входило три значеиия)

N ≈ 3

4) Находится длительность интервалов

D_вар = = = 2.53(3) ≈2.6

Округление должно быть в большую сторону!!!

5) Определяем границы интервалов

I. [2 + 2,6 = 4,6]

II. [4.6; 4.6+2.6 = 7.2]

III. [7.2; 7.2+2.6 = 9.8]

Рисунок 8

Если значение СВ попадает на границы интервалов:

a) Можно увеличить длительность интервала и снова решить данную задачу

b) Можно отнести пограничное значение пополам к двум интервалам.

Дата добавления: 2014-01-13