КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Введение – до 5 мин
ТЕКСТ ЛЕКЦИИ ЛЕКЦИЯ № 3 и №4 ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ
Кафедра ЭФ-2 «Экономические информационные системы»
УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой ЭФ-2 _________________ Лагунова А.Д. «____»_____________2012г.
Для студентов факультета ЭФ специальности 080801
Обсуждена на заседании кафедры (предметно-методической секции) «15»мая 2012 г. Протокол № 11
МГУПИ – 2012г. Тема лекции: Система случайных величин. Случайные функции Время: 4 часа (180 мин.) ПЛАН ЛЕКЦИИ: Введение – до 5 мин. Основная часть (учебные вопросы) – до 170 мин. 1-й учебный вопрос Система случайных величин. Двухмерный, трехмерный, и т.д. законы распределения, их построение и использование. Связь двухмерного с одномерными законами распределения случайных величин. – 85 мин. 2-й учебный вопрос Случайные функции и их характерные особенности. Многомерные функции распределения при характеристике случайных функций. Стационарные и нестационарные случайные функции. Свойство эргодичности стационарных случайных функций. Ковариационная и корреляционная функция, ее построение и назначение. Прямое преобразование Лапласа и частотные характеристики функции, изменяющейся во времени. Спектральная плотность случайной функции. – 85 мин. Заключение – до 5 мин. Система случайных величин. Дифференциальный и интегральный закон распределения системы случайных величин. Двухмерный, трехмерный, и.т.д. законы распределения, их построение и использование. Связь двухмерного с одномерными законами распределения случайных величин. Условная плотность распределения случайных величин.
Случайные функции и их характерные особенности. Многомерные функции распределения при характеристике случайных функций. Стационарные и нестационарные случайные функции. Свойство эргодичности стационарных случайных функций. Ковариационная и корреляционная функция, ее построение и назначение. Прямое преобразование Лапласа и частотные характеристики функции, изменяющейся во времени. Спектральная плотность случайной функции.
Возможно, когда одновременно рассматриваются не одна, а несколько случайных величины. Для них в качестве характеристики могут использоваться законы распределения. Пусть число таких случайных величин равняется двум: X и Y. Предположим, что по каждой из этих случайных величин имеется соответствующая гистограмма. В этом случае строится гистограмма по двум случайным величинам. В ней для каждой области, определяемой определенным интервалом значений случайных величин X и Y, находится число попаданий этих случайных величин одновременно. Далее от построенной гистограммы двух случайных величин переходим к их дифференциальному закону распределения f (x, y). Для этого по каждой случайной величине X и Y берутся интервалы единичной длительности. Далее суммируются все значения полученной гистограммы двух случайных величин X и Y. Каждое из полученных значений делится на указанную выше суммарную величину. В результате находится двумерный дифференциальный закон распределения f (x, y) системы случайных величин x и y. Интегральный закон распределения F (x, y) случайных величин X и Y находится по формуле (32)
Располагая двумерным законом распределения f (x, y), можно найти одномерные законы распределения F (X) и F (Y). Для этого используются соотношения (33) и (34)
Существует связь между двумерным законом f (x, y) и одномерным законом распределения f (x) и f (y). Эта связь определена соотношениями (35) и (36)
где и - условная плотность распределения случайной величины X и Y. характеризует собой вероятность появления значений величины Y при разных заданных значениях величины X. характеризует собой вероятность появления значений величины X при различных заданных значениях величины Y. Условная плотность распределения и может быть найдена с помощью соотношений
Условная плотность распределения и используется тогда, когда случайные величины X и Y взаимосвязаны. Если же они независимы между собой, то является справедливым соотношение (39)
Случайная функция представляет собой функцию от времени, которая характеризуется некоторой совокупностью реализаций, отличающихся друг от друга. Эти реализации находятся в результате опытов, проводящихся в одинаковых условиях. Случайная функция может являться как стационарной, так и нестационарной. Стационарная случайная функция характеризуется тем, что для различных моментов времени законы распределения соответствующих случайных величин , и т.д. мало отличаются друг от друга. В свою очередь для нестационарной случайной функции эти законы распределения существенно отличаются между собой. Вместо законов распределения для определения того является ли случайная функция стационарной или нестационарной можно использовать математическое ожидание и дисперсию.
Стационарная случайная функция обладает свойством эргодичности. Это свойство позволяет вместо имеющейся совокупности реализаций использовать одну из них. Если взять любую случайную функцию , , где I – число ее реализаций, то для нее можно найти одномерные законы распределения , , где J – число рассматриваемых моментов времени. Одновременно с этим можно найти двумерные, трехмерные и т.д. законы распределения. В первом случае этот закон имеет вид , во втором случае , и т.д. Законы распределения, особенно многомерные характеризуют ту или иную случайную функцию. Однако, их определение является достаточно сложной задачей. По этой причине для анализа случайной функции используется ковариационная и корреляционная функция. При этом корреляционная функция представляет собой нормированную ковариационную функцию. Если случайная функция является нестационарной, то ковариационная функция рассматривается по формуле (39)
где
Ковариационную функцию можно представить в виде , где τ – интервал между рассматриваемыми значениями случайной функции . В этом случае используется формула (42), либо по формуле (43)
где
В формуле (42) используется некоторая совокупность реализаций случайной функции, в формуле (43) – одна из ее реализаций. В первом случае предполагается, что случайная функция является нестационарной, во втором случае – стационарной, обладающей свойством эргодичности. В любом случае, ковариационная функция характеризует связь между значениями случайной функции, разделенными интервалами τ. Корреляционная функция если взять формулу (42), находится с помощью соотношения (46)
Корреляционная функция , если взять формулу (43), находится с помощью соотношения (47)
При τ = 0 корреляционная функция = 1. По I совокупности реализаций случайной функции можно найти ее обобщенную реализацию. Для этого считается справедливым соотношение (44)
где, - обобщенная реализация случайной функции. Преобразуем соотношение (45). В результате получим
Будем считать справедливым соотношение (46)
В этом случае формула (45) преобразуется к виду (47)
Далее можно считать справедливым соотношение (48)
Будем считать справедливым соотношение (49) и (50)
Подставим выражения (49) и (50)в формулу (48). В итоге получим
Будем считать справедливым соотношения
Тогда получаем
Для анализа любой временной функции x (t), в том числе любой реализации случайной функции, можно использовать преобразование Лапласа, которое выражается соотношением (56)
Обычно p = iω, где ω – круговая частота, равная (T - период), . В этом случае выражение (56) преобразуется к виду (57)
Существует формула Эйлера, которая имеет вид (58)
В этом случае выражение (57) преобразуется к виду
и представляют собой вещественную B(ω) и мнимую C(ω) часть числа X(ω). Располагая вещественной и мнимой частями комплексного числа X(ω) можно найти значение его амплитуды и фазы. Для этого можно воспользоваться соотношениями (60) и (61)
Располагая ковариационной функцией K(τ) можно найти её преобразование Лапласа. В этом случае амплитудная характеристика A(ω) представляет собой распределение дисперсии случайной функции x(t) по частотам. Она носит название спектральной плотности Sx(ω). Предположим, что мы рассматриваем две случайные функции X(t) и Y(t). X(t) является входным сигналом в некоторый оператор, Y(t) – выходным сигналом. Пусть известна спектральная плотность Sx(ω) и Sy(ω). В этом случае амплитудная частотная характеристика данного оператора определяется по формуле (62)
СФ имеет различные реализации отличные друг от друга, при опятах осуществляемых в одинаковых условиях. Рисунок 13 Это функция во времени. (t), i, где I – число реализаций, а i – реализация. Одномерный закон распределения: , i– значение случайной величины. Двумерный закон распределения: , i Многомерный закон распределения: , i Случайные функции делятся на две группы: 1) Стационарные СФ, более устойчивые – если во времени закон распределения в сечении не существенно меняется. 2) Нестационарные. Эргодичность – справедлива для стационарных СФ – при исследовании СФ можно ограничится одной ее реализацией.
Где–– интервал взят между рассматриваемым значением СФ.
Если рассматривать совокупность реализаций Для обобщенной реализации Отсюда получается Если существуют случайные функции и , то для них ковариационная и корреляционная функции находятся по формулам:
Пример Таблица 2
Рисунок 14
Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 333; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |