Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение:

Линейным ДУ первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

(1)

где и - непрерывные функции или константы.

Решение уравнения (1) будем искать решение в виде произведения двух функций

(2)

Тогда

Тогда уравнение (1) можно записать в виде:

, или

(3)

Выберем так, чтобы выполнялось равенство:

(кроме ) (4)

Тогда

Полагаем здесь (нам нужно любое решение уравнения (4))

Окончательно получим общее решение в виде

Постоянную С можно найти из начальных условий: .

Пример: Решить задачу Коши

; ;

Уравнение Бернулли

Уравнения вида

(1)

где и – непрерывные функции (или константы), и , называется уравнениями Бернулли. Заметим, что они допускают нулевое решение . Если , то они приводятся к линейным уравнениям заменой

(2)

Поделим обе части уравнения (1) на , получим

(3)

(4)

-линейное д.у. Найдем его общее решение, сделаем в нем обратную замену и получим общее решение уравнения (1).

Пример. Найти общее решение уравнения

(5)

Уравнение имеет нулевое решение. Найдем другие решения.

; ; ;

- линейное д.у.

Практика

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

1); 2); ;

3); 4); ;

2. Однородные

1); ; ;

2); 3);

4); 5);

6) ;

3. Линейные первого порядка

1) ; 2);

3); 4).

4. Уравнения Бернулли

1); 2).

Дата добавления: 2014-01-13