Разложение функции в ряд Лорана в окрестности особой точки однозначного характера

Пусть функция регулярна во всех точках области D, кроме внутренней точки , где функция неаналитична (и возможно, обращается в бесконечность), но при обходе которой функция не меняет значения. Проведем две окружности с центром в точке и с радиусами и , , так чтобы окружности и кольцо между ними лежали в области регулярности функции .

Поскольку регулярна в кольце, применяя интегральную формулу Коши, при любом z внутри кольца справедливо представление

Заметим, что , если , , если . Поэтому

Таким образом, в кольце в окрестности особой точки однозначного характера регулярная функция раскладывается в ряд вида

, где , , , .

Такой ряд называется рядом Лорана. Часть ряда Лорана, содержащая неотрицательные степени , называется правильной частью ряда, часть ряда Лорана, содержащая отрицательные степени , называется главной частью ряда. В случае, когда функция аналитична в точке , главная часть Лорана обращается в нуль, и ряд Лорана превращается в ряд Тейлора.

В зависимости от вида ряда Лорана в окрестности особой точки определяется тип особой точки.

1. Если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное множество отрицательных степеней , соответствующая особая точка называется существенно особой точкой.

2. Если главная часть ряда Лорана содержит конечное множество отрицательных степеней , соответствующая особая точка называется полюсом, причем порядок полюса – это наибольшая степень , входящая в разложение.

3. Если главная часть ряда Лорана отсутствует, соответствующая точка называется устранимой особенностью.

П р и м е р ы. 1. Для функции точка 0 является существенной особенностью, так как .

2. Для функции точка 0 является полюсом второго порядка, так как .

3. Для функции точка 0 является устранимой особенностью, так как .

Дата добавления: 2014-01-13