Средний прогноз

Для большей ясности предположим, что Х0=100 и мы хотим спрогнозировать E(Y/X0=100). Понятно, что уравнение регрессии дает оценку среднего прогноза следующим образом:

,где – оценка E(Y/X0). Можно показать, что этот точечный прогноз лучшая линейная несмещенная оценка.

Поскольку представляет собой оценку, наверняка численное ее значение отличается от истинного значения. Разность между двумя этими величинами даст некоторое представление об ошибке прогноза. Для получения этой ошибки, нам необходимо найти распределение выборки . нормально распределенная величина со средним (b1+b2Х0) и ее дисперсия задается следующей формулой:

.

Заметим неизвестную ее несмещенной оценкой . Тогда переменная

подчиняется закону распределения Стьюдента с N–2 степенями свободы. Следовательно, этот закон распределения можно использовать для построения доверительных интервалов истинного E(Y0|X0) и проверки гипотез обычным образом:

,

где

.

Для наших данных получаем

и

.

Следовательно, 95% доверительный интервал для истинного E(Y0|X0)=b1+b2Х0 задается формулой:

.

Таким образом, для Х0=100, в повторяющихся 95 выборках из 100, будут содержать истинную среднюю величину; наилучшим точечным оценщиком будет 75.3645.

Если мы получим 95% доверительные интервалы для каждого значения Х, приведенных в таблице 2, мы получим то, что называется доверительной областью для функции популяционной регрессии, показанную на рис. 5.

Рис. 5. Доверительные интервалы (области) для средней Y и индивидуальной величины Y.

Дата добавления: 2014-01-13