Общая постановка задачи интерполирования

Пусть на отрезке задана система функций

(2.30)

и введена сетка

. (2.31)

Образуем линейную комбинацию

. (2.32)

Задача интерполирования функции системой функций (2.30) на сетке (2.31) состоит в нахождении коэффициентов , , для которых выполнены условия

. . (2.33)

Интерполирование алгебраическими многочленами является частным случаем сформулированной задачи, когда , . Возникает вопрос о существовании и единственности решения общей задачи интерполирования. Запишем систему (2.33) более подробно

,

,

...

.

Для того чтобы эта система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы

(2.34)

был отличен от нуля. Более того, поскольку узлы , могут быть как угодно расположены на , лишь бы среди них не было совпадающих, необходимо потребовать, чтобы при любом расположении узлов. Выполнение или не выполнение этого требования зависит от выбора системы функций .

Система называется системой Чебышева на , если определитель отличен от нуля при любом расположении узлов , , когда среди этих узлов нет совпадающих. Таким образом, общая задача интерполирования однозначно разрешима, если чебышевская система функций. Функция , определенная согласно (2.32) и удовлетворяющая условиям интерполирования (2.33), называется обобщенным интерполяционным многочленом по системе .

Вообще из (2.34) видно, что если какая-либо из функций обращается на отрезке в нуль более чем раз, то система не является чебышевской. Действительно, если, например, для некоторого и для , то, выбирая точки в качестве узлов интерполирования, получим, что столбец матрицы содержит только нулевые элементы.

Можно доказать следующее утверждение. Для того чтобы система была чебышевской на , необходимо и достаточно, чтобы любой обобщенный многочлен по этой системе, у которого хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, имел на не более нулей. Иногда это свойство принимается за определение чебышевской системы.

Дата добавления: 2014-01-13