КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Примеры численных методов
Существуют две группы численных методов решения задачи Коши: многошаговые разностные методы и методы Рунге-Кутта. Рассмотрим уравнение , . . (8.4) Введем по переменному равномерную сетку с шагом , т.е. рассмотрим множество точек . Будем обозначать через точное решение задачи (8.4), а через приближенное решение. Заметим, что приближенное решение является сеточной функцией, т.е. определено только в точках сетки . Пример 1. Метод Эйлера. Уравнение (8.4) заменяется разностным уравнением , , . (8.5) Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле , , . При использовании приближенных методов решения основным является вопрос о сходимости. Понятие сходимости приближенного метода. Применительно к данному случаю наибольшее распространение получило понятие сходимости при . Оно означает следующее. Фиксируем точку и построим последовательность сеток таких, что и (тогда необходимо ). Говорят, что метод (8.5) сходится в точке , если при , . Метод сходится на отрезке , если он сходится в каждой точке . Говорят, что метод имеет -й порядок точности, если существует число такое, что при . Получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность метода . Подставляя в (8.5), получим . (8.6) Правую часть уравнения (8.6) можно представить в виде суммы , где , . Функция называется невязкой или погрешностью аппроксимации разностного уравнения (8.5) на решении исходного уравнения (8.4). Видно, что невязка представляет собой результат подстановки точного решения в левую часть разностного уравнения (8.5). Если бы приближенное решение совпало с точным решением , то невязка равнялась бы нулю. Говорят, что разностный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, если при . Разностный метод имеет -й порядок аппроксимации, если . Оказывается, что при очень общих предположениях порядок точности разностного метода совпадает с порядком погрешности аппроксимации или просто с порядком аппроксимации.
Функция обращается в нуль, если правая часть не зависит от решения . В общем случае пропорциональна погрешности , так как по формуле конечных приращений имеем , . Порядок аппроксимации метода Эйлера нетрудно найти, используя разложение по формуле Тейлора. Поскольку , то , т.е. метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. Пример 2. Симметричная схема. Метод Эйлера с коррекцией. Уравнение (8.4) заменяется разностным уравнением , , . (8.7) Данный метод более сложен в реализации, нежели метод Эйлера (8.5), так как новое значение определяется по найденному ранее решению путем решения уравнения , где . По этой причине метод называется неявным. Преимуществом данного метода является его более высокий порядок точности по сравнению с предыдущим. В методе Эйлера с коррекцией прогнозное значение , а, следовательно, и в формуле (8.7) предлагается определять по формуле Эйлера: . Таким образом, метод Эйлера с коррекцией становится явным или условно неявным (дом. зад №1, найти порядок аппроксимации метода Эйлера с коррекцией). В случае симметричной схемы, для невязки справедливо разложение т.е. . Таким образом, метод (8.7) имеет второй порядок аппроксимации, а, следовательно, и второй порядок точности. Приведенные примеры представляют собой простейшие случаи разностных методов или разностных схем. Методы Рунге-Кутта отличаются от разностных методов тем, что в них допускается вычисление правых частей не только в точках сетки, но и в некоторых промежуточных точках. Пример 3. Метод Рунге-Кутта второго порядка точности. Предположим, что приближенное значение решения исходной задачи в момент уже известно. Для нахождения поступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлера
, (8.8) вычислим промежуточное значение , а затем воспользуемся разностным уравнением , (8.9) из которого явным образом найдем искомое значение . Для исследования невязки подставим промежуточное значение , где , в уравнение (8.9). Тогда получим , (8.10) невязка которого равна . (8.11) Имеем , так как в силу (8.4) справедливо равенство . Таким образом, метод (8.10) имеет второй порядок погрешности аппроксимации, , и в отличие от (7) является явным. Реализация метода (8.7) в виде двух этапов (8.8) и (8.9) называется методом предиктор-корректор (предсказывающе-исправляющим), поскольку на первом этапе (8.8) приближенное значение предсказывается с невысокой точностью , а на втором этапе (8.9) это предсказанное значение исправляется, так что результирующая погрешность имеет второй порядок по . Тот же самый метод (8.10) можно реализовать несколько иначе. А именно, сначала вычислим последовательно функции а затем найдем из уравнения . Такая форма реализации метода (8.10) называется методом Рунге-Кутта. Поскольку требуется вычислить две промежуточные функции и , данный метод относится к двухэтапным методам. Существуют более общие -этапные методы Рунге-Кутта, позволяющие получить большую точность.
Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 1008; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |