Понятие случайной величины

Относительная частота и вероятность случайных событий

Основной числовой характеристикой события является его вероятность.

Вероятность события А – это мера его объективной возможности появиться. Ее обозначают Р(А).

Встает вопрос, как измерить эту возможность? Точное значение вероятности события на практике чаще всего получить нельзя. Поэтому за приближенное значение вероятности берется относительная частота события.

Пусть провели n опытов. В этом случае событие А появилось n_А раз.

Относительной частотой (или частостью) события А называют отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к числу всех произведенных испытаний:

w(A) = n_А/n.

Поскольку число возникновений события не может быть отрицательным и больше, чем число всех опытов, то значения

0£ w(A)£1.

Для достоверного события w(A) =1, для невозможного события w(A) =0.

При небольшом числе испытаний n относительная частота события w(A) непредсказуема, ее значение случайно.

Например, опыт заключается в бросании монеты. Событие А – появление «герба». При пяти бросках (n=5) вполне возможно, что «герб» появится только 1 раз, тогда w(A) = 1/5, а может вообще не появиться (w(A) =0).

Если провести несколько серий по n опытов в каждой серии могут существенно отличаться друг от друга. Однако при увеличении числа испытаний в каждой серии значения частоты будут группироваться около некоторого числа.

Вероятностью события А называется мера его объективной возможности, равная числу, вокруг которого группируются значения относительной частоты при неограниченном увеличении числа опытов, 0£ Р(A)£1.

Рассмотрим пример с игральной костью. Пусть испытание состоит в бросании игральной кости. В качестве результата эксперимента будем фиксировать число очков, выпавшее на верхней грани игральной кости. Если игральная кость сделана из однородного материала и обладает симметрией (“правильная игральная кость”), то интуиция подсказывает нам равную возможность выпадания любого числа очков от 1 до 6. Эта равная возможность проявляется на практике в том, что при большом количестве бросаний игральной кости каждое число очков от 1 до 6 выпадает приблизительно одинаково часто. Таким образом, при многократном бросании игральной кости относительная частота выпадания каждого числа очков от 1 до 6 всегда близка к числу 1/6. Отмеченное свойство относительных частот называют статистической устойчивостью.

Случайная величина является количественной характеристикой результата опыта (испытания) и может принимать различные числовые значения, заранее неизвестные и зависящие от неконтролируемых факторов, которые не могут быть учтены. Дадим определение понятию “случайная величина”.

Величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение, какое именно, неизвестно, называется случайной величиной (СВ).

Приведем примеры случайной величины:

А) число выпавших очков при бросании игральной кости;

Б) число, равное времени безотказной работы двигателя определенной марки;

В) ошибка измерения.

Дадим иное определение, более близкое к исследовательской работе.

Случайная величина - это поддающаяся измерению величина определенного физического смысла, значения которой подвержены некоторому неконтролируемому разбросу при повторениях эксперимента.

Обычно случайные величины обозначают большими латинскими буквами: X, Y, Z,... или греческими буквами x, h, t,..., а принимаемые ими конкретные значения - малыми латинскими буквами: x₁, x₂, x₃,..., y₁, y₂,..., t,... Случайная величина характеризуется областью возможных значений и вероятностью приобретения этих значений.

Рассмотрим примеры. Пусть случайный эксперимент - подбрасывание игральной кости. X - число выпавших очков. В зависимости от исхода случайная величина Х может принять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Другой пример. Определяют среднее процентное содержание примесей в образцах партии металла. Количество примесей меняется случайным образом от партии к партии и может принять любое значение из некоторого интервала.

Все случайные величины можно разделить на два больших класса: дискретные (прерывистые) и непрерывные.

Дискретной СВ называется такая величина, возможные значения которой представляют собой счетное множество, конечное или бесконечное (на числовой оси - это отдельные изолированные точки).

Приведем примеры:

А) число очков, выпавших при бросании игральной кости;

Б) число дефектных деталей в различных партиях продукции.

Таким образом, если множество возможных значений случайной величины конечно и счетно: x₁, x₂,..., x_m, то ее называют дискретной.

На практике часто встречаются дискретные случайные величины, принимающие лишь целочисленное значение.

Непрерывной СВ называется такая величина, возможные значения которой представляют собой несчетное множество, то есть полностью заполняют некоторый интервал, конечный или бесконечный.

Приведем примеры непрерывной СВ:

А) время безотказной работы двигателя;

Б) погрешность измерения.

Таким образом, непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Приведем пример, связанный с определением механических свойств металлов и сплавов. Предположим, что n образцов испытывают в идентичных условиях на длительную статическую прочность. Испытание образца прекращают, если он не разрушается за базовое время. В этом опыте число неразрушенных образцов m является дискретной случайной величиной, которая может принимать все целые значения от 0 до n. Время до разрушения - непрерывная случайная величина; оно может принимать целые и дробные положительные значения в бесконечном и конечном интервалах.

Все характеристики механических свойств материалов являются непрерывными случайными величинами.

Математические модели, в которых присутствуют случайные величины, называют вероятностными или стохастическими моделями.

Наиболее полно вероятностные модели описывают с помощью законов распределения случайной величины. Поэтому следующая лекция будем посвящена законам распределения СВ.

Дата добавления: 2014-01-11