Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные методы




Обыкновенных дифференциальных уравнений

Для задачи Коши

, , (8.63)

будем рассматривать многошаговые разностные методы вида

,

, , (8.55)

, (8.56)

 

, . (8.64)

В предыдущей лекции показано, что устойчивость и сходимость метода определяется расположением корней характеристического уравнения

. (8.65)

А именно, требуется, чтобы все корни удовлетворяли условию , причем корни , для которых , не должны быть кратными.

Эти условия устойчивости являются очень общими и не могут учесть многие характерные свойства решений исходной дифференциальной задачи и аппроксимирующего ее разностного метода. Они означают лишь, что все решения однородного разностного уравнения, соответствующего (8.64), остаются ограниченными при .

В частности, при таком подходе коэффициенты , входящие в правую часть уравнения (8.64), никак не влияют на устойчивость.

Предположим, однако, что заранее известна та или иная характерная особенность в поведении решения исходной дифференциальной задачи. Тогда, естественно, требовать, чтобы эта особенность сохранялась и у решения разностного уравнения. Такое требование приведет к сужению класса допустимых разностных методов. Ниже будут рассмотрены методы, предназначенные для расчета асимптотически устойчивых разностных уравнений (8.63).

Рассмотрим сначала характерный пример. Уравнение

, , , (8.66)

где , имеет решение

,

монотонно убывающее при . При любых для решения этого уравнения справедливо неравенство

, (8.67)

означающее устойчивость решения .

Естественно требовать, чтобы и для решения разностной задачи, аппроксимирующей (8.66), выполнялось бы неравенство, аналогичное (8.67). Рассмотрим с этой точки зрения метод Эйлера

, . (8.68)

Из уравнения (8.68) получаем

, .

Оценка вида (8.67), т.е. неравенство

, (8.69)

для метода (8.68) будет выполнена тогда и только тогда, когда . В случае это условие эквивалентно следующему ограничению на шаг :

. (8.70)

Таким образом, разностный метод (8.68) устойчив в смысле выполнения оценки (8.69), если шаг удовлетворяет неравенству (8.70).

Разностный метод (8.64) называется абсолютно устойчивым, если он устойчив при любом , и условно устойчив, если он устойчив при некоторых ограничениях на шаг . Мы видели, что метод Эйлера (8.68) условно устойчив при выполнении условия (8.70). Примером абсолютно устойчивого метода для уравнения (8.66) является неявный метод Эйлера

,

для которого при любых .

Оказывается, и для более общих асимптотически устойчивых систем дифференциальных уравнений явные разностные методы являются условно устойчивыми, а среди неявных методов существуют абсолютно устойчивые методы.

Условная устойчивость является недостатком явного метода, так как вынуждает брать слишком мелкий шаг . Например, если , то условие (8.70) выполнено при , и для того, чтобы вычислить решение при , надо сделать сто шагов по методу Эйлера. Неявный метод лишен этого недостатка, однако его применение к задаче (8.63) приводит к необходимости решения на каждом шаге алгебраического уравнения, в общем случае нелинейного.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 1602; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.