Лекція 5. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Лінійні однорідні диференціальні рівняння, властивості їх розв’язків. Лінійно залежні та лінійно незалежні системи функцій. Визначник Вронського та його властивості. Фундаментальна система розв’язків та структура загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння.

Лінійним диференціальним рівнянням n-го порядку називається рівняння вигляду

(5.1)

де функції неперервні на інтервалі причому

Поділивши (5.1) на і позначивши

отримаємо лінійне диференціальне рівняння n -го порядку в канонічній формі:

(5.2)

Якщо при то (5.2) називається лінійним неоднорідним рівнянням. Якщо при то рівняння (5.2) називається лінійним однорідним. При цьому рівняння

називається лінійним однорідним рівнянням, яке відповідає неоднорідному рівнянню (5.2). Лінійне однорідне рівняння завжди має розв’язок , який називається тривіальним. Записавши рівняння (5.2) у вигляді

(5.3)

зазначимо, що функція Ф неперервна разом зі своїми частинними похідними при і будь-яких , тому права частина рівняння (5.3) задовольняє умови теореми існування та єдиності. Більше того, доведено, що для будь-якої точки і будь-яких початкових значень розв’язок задачі Коші для рівняння (5.2) існує і єдиний на всьому інтервалі І неперервності коефіцієнтів рівняння.

Лінійне диференціальне рівняння (5.2) можна записати у вигляді де – лінійний диференціальний оператор n -го порядку

визначений на множині n разів неперервно диференційованих функцій.

Лінійне однорідне рівняння має вигляд

(5.4)

де функції неперервні на

Наведемо основні властивості розв’язків рівняння (5.4).

1. Якщо – розв’язки рівняння (5.4). то й будь-яка лінійна комбінація їх де , є розв’язком рівняння (5.4).

2. Якщо лінійне однорідне рівняння (5.4) з дійсними коефіцієнтами має комплексний розв’язок то функції , кожна окремо також є розв’язками рівняння (5.4).

Функції називають лінійно залежними на множині , якщо існують сталі такі, що

(5.5)

причому

Якщо тотожність (5.5) виконується лише при то функції називаються лінійно незалежними на І.

Будь-яка система з n лінійно незалежних розв’язків лінійного однорідного рівняння (5.4) називається фундаментальною системою розв’язків рівняння (5.4).

Фундаментальна система розв’язків називається нормальною (при ), якщо

……………………………………

де

Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння (1) має вигляд

де – довільні сталі, а – фундаментальна система розв’язків рівняння (5.4).

1) Для того, щоб функції , неперервні разом з своїми похідними до -го порядку включно на І, були лінійно незалежні на І, достатньо щоб визначник Вронського (вронскіан) системи функцій був відмінний від нуля хоча б в одній точці х інтервала І, тобто

2) Якщо функції неперервні разом зі своїми похідними -го порядку включно на , є лінійно незалежними на І, то

3) Для того, щоб розв’язки лінійного однорідного рівняння -го порядку (5.4) були лінійно незалежні на необхідно й достатньо, щоб

Для вронскіана, що складається з розв’язків лінійного однорідного рівняння (5.4) справедлива формула Ліувілля-Остроградського:

З формули Ліувілля-Остроградського випливає така умова:

4) Для того, щоб розв’язки лінійного однорідного рівняння -го порядку (5.4) були лінійно незалежними на необхідно й достатньо, щоб вронскіан не перетворювався в нуль хоча б в одній точці

Приклад 1. Довести, що:

а) коли на , то функції і лінійно незалежні на І;

б) коли на , то функції і лінійно залежні на І.

Розв’язання.

а) Припустимо, що на І, але функції і лінійно залежні на І. Тоді на І виконується тотожність

(5.6)

причому Нехай, наприклад, Тоді з тотожності (5.6), враховуючи, що на І, отримаємо

що суперечить припущенню.

б) Припустимо, що на І. Тоді на І виконується тотожність

причому Тому функції і лінійно залежні на І.

Приклад 2.

Знайти визначник Вронського систем функцій:

а)

б)

в) .

Які висновки відносно лінійної залежності даних функцій на І можна зробити за значенням їх визначника Вронського?

Розв’язання.

а)

б)

в)

У прикладі а) на І. Тому функції лінійно незалежні на І.

У прикладі б) висновок про лінійну залежність функції за її визначником Вронського зробити не можна. Але функції лінійно залежні на І, оскільки на І виконується тотожність

де

У прикладі в) функції лінійно залежні на І, оскільки на І виконується тотожність

де

Приклад 3.

Довести, що функції утворюють фундаментальну систему розв’язків деякого однорідного рівняння третього порядку. Скласти це рівняння.

Розв’язання.

Знаходимо:Отже, дані функції утворюють фундаментальну систему розв’язків деякого лінійного однорідного рівняння третього порядку:

Знайдемо Для цього в останню рівність послідовно підставимо Дістанемо систему

Застосовуємо правило Крамера:

Шукане рівняння:

Контрольні запитання

1. Що називається лінійним диференціальним рівнянням? лінійним однорідним диференціальним рівнянням? лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням?

2. Як звести лінійне диференціальне рівняння до канонічної форми?

3. Дайте означення тривіального розв’язку.

4. Сформулюйте основні властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння.

5. Які функції називають лінійно залежними? лінійно незалежними?

6. Що називається фундаментальною системою розв’язків?

7. Яка фундаментальна система розв’язків називається нормальною?

8. Що таке Вронскіан? Як його побудувати? Сформулюйте його властивості.

Дата добавления: 2014-01-14