Лекция 6. В этой главе речь пойдет о приближенном вычислении определенных интегралов

ГЛАВА 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ.

В этой главе речь пойдет о приближенном вычислении определенных интегралов . Если известна первообразная функция для , то можно получить точное значение интеграла по формуле:

.

Но найти первообразную можно только в некоторых частных случаях. Поэтому нужно строить приближенные формулы. В силу самого определения интеграла, как предела последовательности некоторых частных сумм, мы можем приближенно заменить его конечной суммой

(1)

Такая формула называется квадратурной формулой или формулой механических квадратур. Числа называются коэффициентами квадратурной формулы, точки называются узлами квадратурной формулы, а величина

(2)

называется остаточным членом квадратурной формулы. Формулу (1) можно записать в виде:

(1₁)

Часто записывают квадратурную формулу с использованием весовой функции:

(1₂)

— весовая функция, или просто вес.

Введем некоторые ограничения:

1) Будем рассматривать только вещественный случай (если нет специальной оговорки).

2) Промежуток интегрирования может быть бесконечным.

3) Будем считать, что узлы различны и упорядочены по возрастанию: .

4) (весовая функция) удовлетворяет условию , при этом на [a,b] строго положительна на множестве ненулевой меры,

При вычислении возникают ошибки (например, округления). Они будут суммироваться. Выясним, какими лучше выбирать коэффициенты . Пусть вместо точного значения мы получили приближенное:

и пусть при любом k . Оценим сумму:

,

значит, суммарная ошибка зависит от величины. Возьмем на [a,b], причем на множестве ненулевой меры. Пусть и квадратурная формула точна, т.е. . Интеграл слева положителен в силу определения , значит, . Значит, в классе формул с неотрицательной весовой функцией и точных для 1 наименьшую суммарную ошибку дают квадратурные формулы, у которых все A_k > 0. (так как в этом случае будет наименьшей).

Дата добавления: 2014-01-14