Формула Симпсона

Теперь возэмем 3 узла на [a,b]: . Тогда

(4.5)

Для изучения этой формулы рассмотрим промежуток [-1, 1 ]. Тогда узлами будут точки -1, 0, 1. Найдем коэффициенты этой формулы. Здесь будет .В силу симметрии узлов имеем и при этом . Найдем :

. Теперь легко получим . Таким образом, получаем квадратурную формулу:

= (4.6)

Воспользовавшись формулами для коэффициентов подобных квадратурных формул, получим формулу для произвольного промежутка [a,b]:

= (4.7)

Формула (4.7) называется формулой Симпсона. Иногда ее называют формулой парабол. Это связано с тем, что мы заменяем кривую f (x) на промежутке [a,b] многочленом 2-й степени, т.е. параболой.

Вычислим остаточный член формулы Симпсона сначала для промежутка [-1, 1 ].

Пусть на промежутке [-1, 1 ] функция имеет всюду непрерывную 4-ю производную. Построим интерполяционный многочлен Эрмита 3-й степени по условиям: .

.

Подсчитаем остаточный член интерполирования:

(4.8)

где , и x зависит от х. Проинтегрируем формулу (4.8):

. — многочлен степени не выше 3, следовательно, для него точна формула Симпсона (свойство (6) из § 2).Таким образом, слева мы имеем

, т.е. как раз остаточный член формулы Симпсона. Теперь рассмотрим интеграл, стоящий справа: . Здесь функция не меняет знак на промежутке интегрирования, а 4-я производная функции f (x) по предположению непрерывна на промежутке [-1, 1 ], следовательно, можно применить лемму из § 2. Значит, найдется точка , такая что . Проинтегрировав правую часть, получим . Таким образом, формула Симпсона имеет представление остатка в форме Лагранжа. Воспользовавшись свойством 7) из § 2, получим выражение для остаточного члена формулы Симпсона для произвольного промежутка:

(4.9)

Если известно, что всюду на имеет место оценка , где — некоторая постоянная, то

(4.10)

Дата добавления: 2014-01-14