Квадратурная формула Мелера

Рассмотрим весовую функцию

(8.4)

На промежутке [-1,1] полиномы, ортогональные с таким весом — полиномы Чебышева, которые на [-1,1] имеют вид

(8.5)

Проверим ортогональность любому полиному степени меньше п. Достаточно показать, что

(8.6)

Сделаем в (8.6) замену переменной . Тогда . Но и при любом имеет место . Таким образом, условие ортогональности выполнено, следовательно, узлами квадратурной формулы типа Гаусса на промежутке [-1,1] с весом (8.4) будут корни полинома Чебышева (8.5). Если их расположить в порядке возрастания, то они будут иметь вид

(8.7)

Вычислим коэффициенты этой формулы.

(8.8)

Следовательно, можно записать

Произведя замену , получим

Для подинтегральной функции можно записать представление:

Проинтегрировав левую и правую части, получим

Запишем эту формулу для :

Для всех имеем

,

а для воспользуемся правилом Лопиталя:

.

Теперь мы имеем равенства

Сложим эти равенства. Тогда

(здесь мы воспользовались тем, что cos x является вещественной частью функции , и при сложении появляется геометрическая прогрессия, сумма которой равна 0). Отсюда получаем

. Но . Значит

Таким образом, эта формула имеет постоянные коэффициенты.

Остаточный член формулы Мелера имеет вид

Пример. Вычислить интеграл по формуле Мелера с 2-мя узлами.

. .

Формула с весовой функцией на промежутке имеет вид:

Узлами этой формулы являются многочлены, ортогональные с веом на промежутке . Они называются многочлены Чебышева-Эрмита.

Пример.

Формула с весовой функцией на промежутке имеет вид:

Узлами этой формулы являются многочлены, ортогональные с веом на промежутке . Они называются многочлены Чебышева-Лагерра.

Дата добавления: 2014-01-14