Технічна реалізація математичної логіки

__ __ __

__ __

__ __ __ __ __

xz V yz V xy ≡ xzV yz V xyz V xyz ≡ xz V xyz V yz V xyz ≡

≡ xz(1 V y) V yz (1 V x) ≡ xz V yz.

Як бачимо логічна функція може мати не єдину ДНФ.

Кон’юктивна нормальна форма (КНФ) — кон’юкція скінченної кількості різних членів, кожен з яких являє собою диз’юнкцію окремих змінних чи їх заперечень, котрі даний член містить не більше ніж один раз.

(x V y) (x V y V z)

розгянемо приклад зведення деякої логічної функції до ДНФ та КНФ:

___

(xy V yz)xv ≡ (xy V yz)(x V v) ≡ (xy V yz)x V (xy V yz)v ≡

xy V xyz V xyv V yzv – ДНФ

__ __ __ __ __ __ __

(xy V yz)xv ≡ (xy V yz)(x V v) ≡ (x V yz)(y V yz) L (x V v) ≡

(x V y)(x V z)(y V y)(y V z)(x V v) ≡ (x V y)(x V z)(y V z)(x V v) –КНФ

Члени ДНФ (КНФ), котрі являють собою елементарні кон’юкції (диз’юнкції) К літер, називають мінітермами (макстермами) k-го рангу. Так ху–мінітермдругого рангу, xyz–мінітерм третього рангу, а x V y – макстерм другого рангу.

У 30-х роках радянський фізик В. Шестаков, американський математик та інженер К. Шенон, японський інженер А. Нікосіма звернули увагу на те, що деякі структури електричних схем, котрі містять реле, нагадують структури, досліджувані в математичній логіці. Історично релейно-контактні схеми започатковували технічні за соби реалізації бульових функцій. Для замикання і розмикання електричних схем застосовують ключі. Ключ, у широкому розумінні — це пристрій, який здатний перебувати тільки в одному здвох можливих станів. Ключем можна керувати ручним або автоматичним способом. Наприклад, пристроями для ручного керування ключем є електричний вимикач, телеграфний ключ, дверний замок. Автоматизують процес керування положенням ключа за допомогою електромагнітних реле, електронних ключових схем на транзисторах. Для керування ключами викоистовують пристрої різних конструкцій і фізичної природи: механічні, електромагнітні, електронні, гідравлічні, пневматичні та інші.

У межах загальної теорії не беруть до уваги конструктивних особливостей ключових пристроїв і розглядають їх як відрізки провідника з контактом, який може бути розімкненим або замкненим. Розімкнений стан контакту ототожнюють з нулем, а замкнутий — з одиницею.

Схема Логічна функція

Аналіз контактної схеми полягає в побудові бульової функції, котра їй відповідає. Цю побудову виконують на підставі того, що паралельне з’єднання відповідає диз’юнкції,а послідовне – кон’юнкції. Наприклад, запишемо бульову функцію для такої схеми:

Y=(x₁ V x₂)Ÿx₃ V x₂Ÿx₃ V

V (x₁Ÿx₃ V x₂Ÿx₃)Ÿx₄

Оберненою задачею до задачі аналізу є задача синтезу схеми. Наприклад, побудуємо схему, що повинна виконувати логічну функцію:

У = х₁х₂х₃ V x₁x₂x₃ V x₁x₂x₃ V x₁x₂x₃

Центральною проблемою технічних задач є побудова найпростішої схеми, що полягає в мінімізації бульових функцій, які її описують.

У загальному випадку задачу синтезу розв’язують так:

1. Записують початкові для проектованого пристрою у вигляді таблиці відповідності.

2. Подають умови з таблиці формулою бульової алгебри

3. Виконують рівносильні перетворення формули, щоб спростити.

4. Будують схему за остаточною логічною схемою

5. Вибирають технічні засоби реалізації (електричні, пне вматичні)

6. Конструюють технічний пристрій, котрий виконує потрібні функції.

Як приклад, контакної схеми розглянемо її реалізації на логічних елементах в пристроях цифрової обчислювальної техніки.

ЛЕ – це технічний пристрій, який реалізує одну елементарну бульову функцію.

— інвертор

(Логічне перетворення “не”)

— Диз’юнктор

(Логічна операція “Або”)

— Кон’юнктор

(Логічна операція “І”)

— Елемент НЕ-І

(Операція “Стрілка Пірсона”)

— Елемент рівнозначності

(Операція еквіваленції)

— Суматор за модулем 2

(Операція нерівнозначності)

Розглянемо приклад.

Заводський енергоцех, у якому встановлено два генератори P i S, забезпечує електроенергією три цехи – А, В, С. Генератор Р має потужність у два рази більшу, ніж генератор S. Коли енергії потребує один з трьох цехів, то для її постачання варто увімкнути генератор S, коли енергії потребує два будь-які цехи одночасно,— генератор Р. якщо всі три цехи потребують енергії одночасно, повинні одночасно працювати обидва генератора. Необхідно побудувати такий автоматичний керуючий пристрій (автомат), який отримуючи замовлення (сигнали) від цехів А, В, С на постачання енергії, правильно розподілятиме навантаження на генератори.

Розв’язання.

Складемо таблицю істинності.

А	В	С	Р	S

Запишемо умови роботи керувального пристрою формулами бульової алгебри для виходів P i S.

Р=АВС V ABC V ABC V ABC ≡ AB V AC V BC.

S=ABC V ABC V ABC V ABC

Складено комбінаційну схему з елементарних логічних елементів.

Дата добавления: 2014-01-14