Примеры. Математические модели и численные методы

Математические модели и численные методы.

Лекция 1.

Погрешности.

«Математические модели и численные методы.

Устойчивость, корректность, сходимость.»

Научные исследования предполагают выделение наиболее существенных черт в изучаемом явлении. Часто выделение таких черт позволяет перейти к более простому объекту, который правильно отражает основные закономерности явления и дает возможность получать о нем новую информацию. Такой объект и называется моделью.

Основное требование, предъявляемое к математической модели, – адекватность рассматриваемому явлению, то есть она должна достаточно точно (в рамках допустимых погрешностей) отражать характерные черты явления. Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования.

При построении математических моделей получают некоторые математические соотношения (как правило, уравнения).

1. Уравнения , описывают свободное падение тела, которое находилось на высоте и стало двигаться с начальной скоростью .

2. В гидродинамике известна модель на основе уравнений в частных производных Навье-Стокса, описывающая движение вязкой сжимаемой жидкости.

Имеются математические модели и для описания задач экономики, социологии, медицины и так далее.

С помощью математического моделирования решение научно-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. А это, в свою очередь, часто достигается средствами вычислительной математики, так как аналитическое решение задачи не всегда бывает возможно.

Вычислительная математика – дисциплина, изучающая численные (приближенные) методы решения математических задач.

Численные методы разрабатываются высококвалифицированными специалистами-математиками. Что касается подавляющей части студентов, то для них главной задачей является понимание основных идей методов, особенностей и областей применения.

Что же такое численные методы? Под численными методами подразумевается методы решения задач, сводящиеся к арифметическим действиям над числами, то есть к тем действиям, которые выполняют ЭВМ.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, то есть содержит некоторую погрешность. Источниками погрешностей приближенного решения являются:

1. Несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению (неадекватность математической модели).

2. Погрешность исходных данных (входных параметров).

3. Погрешность метода решения.

4. Погрешности округлений в арифметике и других действиях над числами.

Погрешность в решении, вызванная первыми двумя источниками, называется неустранимой. Она может присутствовать, даже если решение поставленной математической задачи найдено точно.

Численные методы, в большинстве случаев, сами по себе являются приближенными, то есть даже при отсутствии погрешностей во входных данных и при идеальном выполнении арифметических действий они дают решение исходной задачи с некоторой погрешностью, называемой погрешностью метода. Это происходит потому, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая, заменяющая) исходную задачу.

Дата добавления: 2014-01-14