Интерполирование функции многочленом

Теорема Вейерштрасса не дает способа построения аппроксимирующего многочлена, она устанавливает лишь принципиальную возможность этого построения. Для построения приближающих многочленов разработано много способов. Один из них – интерполирование, который заключается в следующем.

Пусть имеется таблица значений

x	x0	x1	x2	...	xn
y	y0	y1	y2	...	yn

Таблица 4.1.

некоторой функции , причем если , то . Задача состоит в том, чтобы найти такой многочлен степени не выше n, который в заданных точках принимает те же значения , что и функция . Таким образом, близость интерполяционного многочлена для заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек (сетке).

Различают интерполяцию глобальную и локальную (или кусочную). Если один многочлен используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента x, то говорят о глобальной интерполяции. В этом случае максимальная степень интерполяционного многочлена равна n, то есть на единицу меньше количества узлов интерполирования.

С геометрической точки зрения задача глобальной интерполяции заключается в построении такого многочлена степени не выше n, график которого проходит через данные точки ,,...,кривой .

Если интерполяционный многочлен строится отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения x, то имеет место локальная интерполяция. Например, можно по трем лежащим рядом точкам построить кусочки парабол.

Теорема 4.2. Глобальный интерполяционный многочлен существует и единственен.

Доказательство.

Пусть – глобальная интерполяция функции по системе узлов .

Учитывая, что (), можем записать

. (4.1)

Это система для определения коэффициентов интерполяционного многочлена , , …, . Как известно, многочлен однозначно задается системой своих коэффициентов.

Определитель системы (4.1) является определителем Вандермонда.

Этот определитель не равен 0, если среди чисел , , …, нет равных. Так как при постановке задачи интерполирования мы потребовали, чтобы узлы были различны, то .

Тогда система (4.1) имеет единственное решение. Таким образом, для данной системы узлов существует единственный глобальный интерполяционный многочлен.

Из приведенных рассуждений следует способ построения интерполяционного многочлена: нужно составить и решить систему (4.1).

Дата добавления: 2014-01-14