Интерполяция кубическими сплайнами

Определим сплайн так, чтобы между любыми двумя узлами интерполяции он был многочленом третьей степени:

,

где , . Для определения всех коэффициентов , , , нужно уравнений. Часть из этих уравнений мы получим из условия прохождения сплайна через узлы интерполяции: , , . Получаем уравнений:

, ; (4.9)

, , (4.10)

где .

В качестве дополнительных условий возьмем условия непрерывности первой и второй производных во внутренних узлах, то есть условия гладкости. Так как

,

,

получаем

, (4.11)

, . (4.12)

(Для получения этих уравнений нужно приравнять производные в точке , вычисленные через левый и правый интервал от , .) Получаем еще () уравнения. Последние два уравнения можно получить, приравняв к нулю вторые производные в концевых точках: , .

, (4.13)

. (4.14)

Решив систему уравнений (4.9)-(4.14), мы получим коэффициенты , , , . С целью экономии памяти ЭВМ эту систему можно представить в более компактном виде.

1. Прежде всего заметим, что из (4.9) можно найти все .

2. Далее выразим из (4.12) и (4.14) .

. (4.15)

Заметим, что первой из этих формул можно пользоваться и при , если положить .

3. Исключим и из (4.10).

, . (4.16)

4. Из уравнений (4.11) исключим и , пользуясь (4.15) и (4.16).

,

.

Как видим, записанное выше уравнение связывает значения коэффициентов в трех соседних узлах. Найдем коэффициенты при неизвестных.

При : .

При : .

При : .

Свободный член: .

Произведем переиндексацию:

, , , .

Коэффициенты:

При : .

При : .

При : .

Свободный член: .

В результате получаем следующую систему из () уравнения:

(4.17)

Эта система решается прогонкой.

Таким образом, чтобы произвести кубическую сплайн-интерполяцию, следует:

1. Определить коэффициенты , , , , , в следующем порядке: – из уравнения (4.9), – решая (4.17) прогонкой, – с помощью (4.15), – с помощью (4.16).

2. Определить интервал , который содержит аргумент x, и в качестве приближенного значения функции в этой точке взять значение сплайна

.

Дата добавления: 2014-01-14