Метод ячеек. Вычисление кратных интегралов

Рассмотрим метод ячеек на примере двойного интеграла. Сделав очевидные обобщения, его можно распространить и на случай интегралов большей кратности. Рассмотрим интеграл , где G – прямоугольник, , . Из курса математического анализа известна теорема о среднем. Если подынтегральная функция непрерывна и интегрируема, то существует такая точка , что , где S – площадь фигуры G. Если среднее значение функции заменить на значение функции в центре прямоугольника, то получим приближенную формулу:

. (5.3)

Точность этой формулы можно повысить, если область G разбить на части (на элементарные ячейки) и к каждой ячейке применить формулу типа (5.3). То есть если областью интегрирования является прямоугольник, дискретизируем задачу.

, ,

,

, .

Просуммируем:

.

Здесь M – количество элементарных отрезков по горизонтали, N – по вертикали.

В случае непрямоугольной области следует преобразовать независимые переменные так, чтобы область интегрирования стала прямоугольником. Пусть G – криволинейный четырехугольник.

Если сделать замену , , то область G перейдет в область , .

Рис. 5.1.

Метод ячеек имеет второй порядок точности, как по направлению x, так и по направлению y. Поэтому сгущение сетки по обоим направлениям следует проводить одинаково, то есть удваивать количество элементарных отрезков нужно так, чтобы отношение оставалось постоянным.

Используемая литература.

1. Вержбицкий В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения [Текст]: учеб. / В. М. Вержбицкий. – М.: изд-во Высшая школа, 2000. – 272с.

2. Воробьева Г. Н. Практикум по вычислительной математике [Текст]: пособие / Г. Н. Воробьева, А. Н. Данилова. – М.: изд-во Высшая школа, 1990. – 208 с.

3. Очан Ю. С. Математический анализ [Текст]: учеб. пособие для пед. институтов / Ю. С. Очан, В. Е. Шнейдер. – М.: учеб.-пед. изд-во министерства просвещения РСФСР, 1961. – 880 с.

4. Чертежи сделаны с помощью авторской программы Изаака Д. Д. «Януш» версии 2.1.

Рекомендуемая литература

5. Иванов В. Д. Лабораторный практикум по курсу основы вычислительной математики [Текст]: практикум / В.Д. Иванов. – М.: «МЗ-Пресс», 2001.

Дополнительная литература

Мудров А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль [Текст]: учеб. / А. Е. Мудров. – Томск: МП «Раско», 1991. – 272с.

[AN1]

[AN2]

[AN3]

Дата добавления: 2014-01-14