Метод простых итераций

Для применения этого метода исходная система (10.1) должна быть преобразована к виду

(10.2)

или

Далее, выбрав начальное приближение и используя систему (10.2), строим итерационный процесс поиска по схеме:

т.е. на каждом k-ом шаге поиска вектор переменных находим, используя значения переменных, полученных на шаге (k-1).

Итерационный процесс поиска прекращается как только выполнится условие

(10.3)

При этом условие (10.3) должно выполняться одновременно по всем переменным.

Метод простых итераций используется для решения таких систем линейных уравнений, в которых выполняется условие сходимости итерационного процесса поиска, а именно: (10.4)

т.е. сумма абсолютных величин частных производных всех преобразованных уравнений системы (10.2) по j-ой переменной меньше единицы.

На рисунке 10.1 представлена схема алгоритма решения систем нелинейных уравнений методом простых итераций.

Рис. 10.1. Схема алгоритма метода простых итераций

Рассмотрим пример.

Дана система нелинейных уравнений:

Необходимо определить область сходимости системы, выбрать начальную точку и найти одно из решений системы.

1.Строим графики уравнений:

Рис. 10.2.

2.Преобразуем систему для решения методом итераций

Проверяем условие сходимости (10.4). Для заданной системы оно имеет вид:

Находим:

В результате условие (10.4) будет иметь вид:

Определяем область сходимости G.

Граница области сходимости определится при решении системы,

Отсюда х₁=0,5; .

В результате область сходимости определится при и .

На графике уравнений строим область сходимости G:

Рис. 10.3.

Выбираем начальную точку , принадлежащую области сходимости G. Используя выбранную начальную точку решаем заданную систему нелинейных уравнений.

Дата добавления: 2014-01-14