Свойства вероятности

Классическое определение вероятности

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Классическая теория вероятностей возникла в середине XVII века на основе азартных игр. Теория ошибок и наблюдений, задачи теории стрельбы, проблемы статистики (демографии) привели к дальнейшему развитию теории вероятностей и появлению новых методов.

Особенность теории вероятностей и отличие от классической математики.

Математика изучает закономерности и свойства моделей реальных объектов и процессов. Модель учитывает только существенные факторы, влияющие на явление или процесс.

Пример. 1) Задачи движения тел. Изучаемый объект: материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Учитываемые факторы: тип движения (прямолинейное, криволинейное); факторы внешней среды (сила тяжести, трение), взаимодействие с другими телами (характер взаимодействия известен). Закономерность: дифференциальное уравнение, решением которого является закон движения этого тела (функция координаты от времени).

2) Движение молекул газа. Изучаемый объект: большое число молекул – материальных точек. Факторы: внешняя среда (температура, давление) и наличие взаимодействия молекул между собой (характер взаимодействия для каждой молекулы описать нельзя). Из-за большого числа молекул нельзя получить закон движения для каждой молекулы, но можно получить закономерности, характеризующие всю совокупность молекул.

Вывод. Классическая математика изучает закономерности явлений, модели которых обладают свойствами уникальности и определённости; так называемые детерминированные модели. Теория вероятностей изучает закономерности явлений, модели которых обладают свойствами массовости и неопределённости (случайности); так называемые вероятностные модели.

Замечание. Явление будем называть массовым, если оно имеет место в совокупности большого числа равноправных или почти равноправных объектов и определяется именно этим массовым характером явления и лишь в незначительной мере зависит от природы составляющих объектов.

Первичными понятиями теории вероятностей являются понятия опыта, события, вероятности, равновозможности (равновероятности).

Определение 1. Опытом (испытанием) будем называть всякое действие, которое может быть осуществлено неограниченное число раз в неизменных условиях (говорят «при всякой реализации определённого комплекса условий S»).

Определение 2. Событием (исходом) будем называть результат опыта (испытания).

Определение 3. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдёт при всякой реализации данного опыта (при всякой реализации комплекса условий S).

Определение 4. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдёт при любой реализации данного опыта (при всякой реализации комплекса условий S).

Определение 5. Случайным называется событие, которое при реализации данного опыта (при всякой реализации комплекса условий S) может либо произойти, либо не произойти.

События обозначаются большими латинскими буквами: А, В, С и т. д.

Пример 1. Игральная кость. Монета. Монеты.

Замечание. Каждое из случайных событий обладает некоторой степенью возможности. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности нужно связать с каждым событием число, которое тем больше, чем более возможно событие.

Определение 6. Вероятностью события будем называть численную меру степени объективной возможности этого события.

Определение 7. События А и В будем называть равновозможными (равновероятными), если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Пример 2. Симметричная игральная кость.

Определение 8. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае события называют совместными.

Определение 9. Совокупность событий Н₁, Н₂, …, Н_n называется полной группой событий, если появление хотя бы одного события из совокупности Н₁, Н₂, …, Н_n в одном испытании является достоверным событием.

Определение 10. Пространством элементарных событий (исходов) (группой случаев) будем называть полную группу попарно несовместных равновозможных случайных событий Н₁, Н₂, …, Н_n. Каждое из событий Н₁, Н₂, …, Н_n будем называть элементарным событием или элементарным исходом.

Пример 3. 2 монеты, пространство элементарных событий.

Замечание. Понятие пространства элементарных событий как полной группы попарно несовместных равновозможных случайных событий иногда называют классической схемой. Классическая схема возникла из азартных игр и явилась первоначальным этапом развития теории вероятностей. Возможны и неклассические схемы (например, схема Бернулли). В них под пространством элементарных событий понимают полную группу попарно несовместных событий, исключая равновозможность элементарных исходов.

Замечание. Часто возникают задачи, в которых требуется изучить возможность наступления не элементарного события, а одного из нескольких определённых элементарных событий.

Пример 4. Игральная кость. Выпадения числа очков, больше 3-х.

Определение 11. Если в задачеинтересует появление какого-то из определённых элементарных событий Н_i1, Н_i2, …, Н_im, то будем говорить, что интересует наступление события А, состоящего в выпадении одного из m элементарных исходов Н_i1, Н_i2, …, Н_im. Исходы Н_i1, Н_i2, …, Н_im будем называть исходами,благоприятными появлению события А.

Определение 12 (классическое определение вероятности). Вероятностью события А называют отношение числа элементарных исходов, благоприятных появлению события А к числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: . (2.1)

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае и .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае и .

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае , значит, , следовательно, .

Вывод. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам .

Определение 12. Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Событие, противоположное событию А, обозначается .

Замечание. Формула (2.1) не является исчерпывающим определением вероятности. В общем случае она пригодна тогда и только тогда, когда опыт сводится к классической схеме случаев.

Дата добавления: 2014-01-14