КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Предельные теоремы теории вероятностейСхема Бернулли Замечание. В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся испытания в сходных условиях (физический и технический эксперимент, метеорология, организация производства и т.д.). Как правило, при этом результаты предшествующих испытаний никак не сказываются на последующих. Очень важен простейший тип таких испытаний, когда в каждом из испытаний некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р и эта вероятность остаётся одной и той же, независимо от результатов предшествующих и последующих испытаний. Этот тип событий был исследован Якобом Бернулли и называется схемой Бернулли. Схема Бернулли положила начало многим дальнейшим построениям и обобщениям теории вероятностей. Пусть проводится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может наступить некоторое событие А. В схеме Бернулли под элементарным событием принято понимать последовательность наступлений или ненаступлений события А в данной последовательности испытаний. Пример. Серия подбрасываний монеты. В общем случае. 1- А наступило, 0 – не наступило. При n построить множество всех элементарных событий. Подсчитать общее число исходов (размещения с повторениями): . Введём вероятностную меру на этом множестве элементарных событий. Вероятность наступления события А в испытании с номером k равна р, а его ненаступления – q=1-p. Наступление или ненаступление события А в испытаниях с разными номерами для схемы Бернулли независимы. Значит, в силу теоремы умножения вероятностей, вероятность того, что событие А наступит в m определённых испытаниях (например с номерами s1, s2, …, sm), а в остальных n-m не наступит, равна . Эта вероятность не зависит от того, как расположены номера s1, s2, …, sm. Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в n испытаниях событие А произойдёт m раз (). Вероятность того, что событие А наступит в m испытаниях с определёнными m номерами, а в остальных не наступит, равна . При реализации серии из n испытаний может реализоваться только одна последовательность m наступлений и n-m ненаступлений события А в n испытаниях. Различные комбинации такого рода несовместны. Тогда по теореме сложения искомая вероятность равна сумме только что вычисленных вероятностей для всех различных последовательностей m появлений события А и n-m непоявлений среди n испытаний. Вычислим число всех таких последовательностей. Рассматривается совокупность из n элементов (число испытаний). Эта совокупность делится на 2 однородных группы из m и n-m элементов (m появлений и n-m непоявлений события А). Различные последовательности отличаются порядком появлений и непоявлений события А (порядок важен), все появления одинаковы, различимы только номером (повторения есть), все непоявления также одинаковы, различимы только номером (повторения есть). Следовательно, число всех таких последовательностей это перестановки с повторениями из n элементов, делящихся на 2 однородных группы. Их число: . Тогда искомая вероятность - формула Бернулли. (1) Легко видеть, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням . В силу этого свойства совокупность вероятностей называют биномиальным законом распределения вероятностей. Замечание 1. Аналогично, полученный результат можно обобщить на случай k событий. А именно, если в каждом испытании может произойти одно и только одно из k событий А1, А2, …, Аk, испытания независимы, и в каждом из них событие Аi происходит с вероятностью рi, то вероятность того, что в n независимых испытаниях появятся m1 событий А1, m2 событий А2, …Mk событий Аk, равна . (1’). Легко убедиться в том, что эта вероятность является коэффициентом при в разложении полинома по степеням х1, х2, …, хk. Вероятности (1’) называют полиномиальным распределением. Замечание 2. Так как все возможные несовместимые исходы испытаний состоят в появлении события А 0 раз, 1 раз, 2 раза, …, n раз, то ясно, что . Это соотношение может быть выведено и без учёта теоретико-вероятностных соображений, поскольку по формуле бинома Ньютона . Пример 1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы. Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии на продолжении каждых из 6 суток постоянна и равна . Тогда вероятность того, что расход электроэнергии в течение 4 суток из 6 не превысит нормы, по формуле Бернулли равна: . Пример 2. Вероятность изделию некоторого производства оказаться бракованным равна 0б005. Чему равна вероятность того, что из 10000 наудачу взятых изделий бракованных изделий окажется а) ровно 40; б) не более 70? Решение. n=10000, p=0,005. Поэтому по формуле (1) находим а); б) вероятность того, что число бракованных изделий окажется не больше 70, равна сумме вероятностей числу бракованных изделий оказаться равным 1, 2, 3, …, 70. Таким образом: . Замечание. Пример 2 показывает, что при решении подобных задач возникают задачи, требующие приближенного вычисления сумм для заданных t и достаточно больших n. Точно также необходимы приближённые формулы для вычисления вероятностей при больших значениях m и n или же при малых m, но больших n. Установим некоторые свойства поведения как функции от m. Для . Отсюда следует, что 1) если (или ), то ; 2) если (или ), то ; 3) если (или ), то . То есть вероятность с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума, и при дальнейшем росте m убывает. При этом если является целым числом, то максимальное значение вероятность принимает для двух значений m, а именно для и . Если не является целым числом, то максимального значения вероятность достигает при , равном наименьшему целому числу, большему . Определение. Число называется наивероятнейшим числом наступлений события в испытаниях, если значение при не меньше остальных значений , то есть при . Если и , то число можно определить из двойного неравенства: . Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если является целым числом, то имеется 2 наивероятнейших значения и . Замечание. Если , то , а если , то . В дальнейшем будет доказано, что при больших значениях n вероятности становятся близкими к нулю, но только для m, близких к , вероятности сколько-нибудь заметно отличаются от нуля. Пример 3. Найти наивероятнейшее значение дней для примера 1. Пример 4. Для 15 бросаний монеты.
Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 415; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |