Взаимное положение прямых: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся прямые

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай.

Параллельные прямые. Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Проекции параллельных прямых на любую плоскость, не перпендикулярную данным прямы, параллельны.

Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций, то есть если ABCD то A ₁ B ₁ C ₁ D ₁; A ₂ B ₂ C ₂ D ₂; A ₃ B ₃ C ₃ D ₃
(рис. 2.21). В общем случае справедливо и обратное утверждение.

Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 2.22). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость p₃ пересекаются, следовательно, они не параллельны.

Рис. 2.21
Рис. 2.22

Пересекающиеся прямые. Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находятся на одной линии проекционной связи (рис. 2.23).

Рис. 2.23

В общем случае справедливо и обратное утверждение, но есть два частных случая:

1. Если одна из прямых параллельна какой–либо из плоскостей проекций, например профильной плоскости проекций (рис. 2.24), по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СD пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, профильные проекции этих отрезков тоже пересекаются, однако точка их пересечения не лежит на одной линии связи с точками пересечения горизонтальной и фронтальной проекций отрезков, следовательно, не пересекаются и сами отрезки.

Рис. 2.24

2. Пересекающие прямые расположены в общей для них проекционной плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 2.25). О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной проекции, например, на горизонтальную плоскость проекций (А ₁ В ₁∩ С ₁ D ₁Þ АВ ∩ СD).

Рис. 2.25

О проекции плоских углов. Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Углом между прямыми называется меньший из двух углов между лучами, параллельными этим прямым. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов:

1. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (рис. 2.26). Это теорема о проецировании прямого угла.

Рис. 2.26.	Рис. 2.27

2. Если проекция угла представляет угол 90⁰, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций
(рис. 2.27).

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.

4. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

5. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением.

Скрещивающиеся прямые. Скрещивающимися называются две прямые, не лежащие в одной плоскости.

Дата добавления: 2014-01-14