Антагонистические матричные игры

Это игра со строгим соперничеством.

Ограничения:

1) Предположение о полной разумности соперника

2) Нет элементов риска

Результатом ТИ ВСЕГДА являются рекомендации или какой-либо комментарий. Нет четкого ответа, как действовать!!!!!!!!!!!!!!!11

Антагонистическая игра – конечная игра с нулевой суммой.

Игра, в которой могут участвовать всего лишь 2 игрока А и В с противоположными интересами.

a – выигрыш игрока А

b – выигрыш игрока В

Следовательно a = - b.

a_ij – выбор варианта хода, в случае если игрок A использует стратегию a_i, а игрок B - b_j.

i = 1…m, j = 1…n.

AiBj	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

миним-е значение в каждой строке

Пример:

Матрица 4х5

	B1	B2	B3	B4	B5	αi
A1
A2						максимум,кот. можно взять 1
A3						1
A4						минимум из максимального значения в каждом столбце 3
βi

Дана матрица с четырьмя стратегиями игрока А и пятью стратегиями игрока В.

Цель игрока А – взять как можно больше, цель игрока В прямо противоположная – отдать как можно меньше.

Поэтому, если игрок А выберет стратегию A₃ надеясь получить выигрыш 10, то при этом В выберет стратегию B₃ и отдаст всего 1, и выигрыш А составит 1.

Следовательно надо использовать принцип минимакса.

Принцип минимакса. Цена игры.

Стратегию надо выбирать так, чтобы в ней минимальный выигрыш был максимальным из всех возможных, т.е. надо поступать так, чтобы при надлежащем поведении противника получить максимальный выигрыш.

В примере приведенном выше следует выбрать стратегию А₄, так как в ней мы при самом плохом для нас раскладе получим наибольший результат. Таким образом, вводятся следующие понятия:

α_i = 3 – нижняя цена игры, т.е. гарантируемый выигрыш, меньше которого мы не получим.

β_i = 5 – верхняя цена игры, т.е. больше этого противник нам не отдаст.

Цена игры v = α_i + β_i;

Бывает и такая ситуация:

	B1	B2	B3	αi
A1				максимум, кот. можно взять 2
A2				6
A3
βi

минимум, кот. отдаст В

Если игрок А выберет A₂ = 6, то игрок В выберет B₂ = 6 ß совпадение интересов.

6 – седловая точка матрицы - игра обладает устойчивостью.

Совокупность стратегий - это решения игры. Как правило, игра решается только в чистых стратегиях (только личные ходы).

Смешанная игра – личные + случайные.

Игра с полной inf – в ней любой игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию развития игры, т.е. результаты всех предыдущих ходов (шахматы).

Теорема

Любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет по крайней мере 1 решение.

В кажой игре с полной inf существует пара оптимальных стратегий (могут быть смешанными), соответствующих цене игры и дающих устойчивый выигрыш, равный цене игры. Соответственно, если цена игры состоит только из личных ходов, то, применяя оптимальную стратегию, игра закончится выигрышем, равным цене игры.

Свойство пары оптимальных стратегий:

Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому игроку невыгодно отступать от своей оптимальной стратегии.

Дата добавления: 2014-01-14