Исследование плотности нормального распределения

1. .

Записать по определению, сделать замену переменной , . Выразить, разбить на 2 слагаемых. Выражение - интеграл Пуассона.

2. Дисперсия аналогично.

Замечание. Общее нормальное распределение. Нормированное нормальное распределение , . Переход осуществляется через замену . Плотность нормированного нормального распределения . Существуют таблицы.

3. Связь между интегральными функциями распределения нормированной и общей выражается формулой .

4. Вероятность попадания в интервал :

.

где – функция Лапласа, значения которой заданы в специальной таблице (см. спец. таблицы).

5. Медиана а (из симметричности, чётности).

6. .

Записать двойное неравенство, привести к виду свойства 4. Нечётность функции Лапласа.

Замечание. Если две случайные величины распределены нормально и , то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу больше у той величины, которая имеет меньшее значение (её рассеяние от математического ожидания меньше).

7. Правило трёх сигм. Положить . При вероятность равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное СКО мала. Т.е. это маловероятное событие. Тогда если НСВ распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного СКО.

На практике правило трёх сигм применяют для выдвижения гипотезы о нормальности некоторого распределения вероятностей.

Дата добавления: 2014-01-14