Свойства функции распределения двумерной случайной величины

Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству .

Доказательство следует из определения функции распределения как вероятности. Вероятность всегда неотрицательное число, не превышающее 1.

Свойство 2. Функция есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е. ; .

Доказательство. Докажем, что является неубывающей функцией по аргументу . Событие, состоящее в том, что составляющая Х примет значение, меньшее , и при этом составляющая можно представить в виде суммы двух несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

Отсюда .

Так как , , то имеем

.

Следовательно, является неубывающей функцией по аргументу .

Аналогично доказывается, что является неубывающей функцией по аргументу .

Замечание 3. Согласно геометрической интерпретации функции распределения двумерной случайной величины как вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной при возрастании правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность попадания случайной точки в «новый» квадрант не может уменьшиться (он больше).

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения: 1) ,

2) , 3) , 4) .

Доказательство. 1) как вероятность невозможного события. Геометрически это означает, что правая граница квадранта при неограниченно сдвигается влево. При этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.

2) Аналогично (верхняя граница квадранта сдвигается неограниченно вниз).

3) так как событие невозможно.

4) Событие (попадание случайной точки в любое место плоскости ) достоверно, поэтому .

Свойство 4. 1) ; 2) .

Доказательство. 1) Так как событие достоверно, то функция определяет вероятность события и представляет собой функцию распределения составляющей Х.

2) Доказывается аналогично.

Дата добавления: 2014-01-14