Определение плотности распределения вероятностей

Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

Определение 1. Двумерная случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов в , и всюду (за исключением, может быть, конечного числа кривых) имеет вторую смешанную производную .

Следствие. .

Доказательство следует из формулы (21.1) при и с учётом непрерывности функции распределения .

Замечание 1. Согласно формуле (21.1) вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и будет равна:

.

Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике будет равна:

.

Переходя к пределу при и , получим

Определение 2. Плотностью вероятности (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная частная производная её функции распределения: .

Замечание 2. Геометрически плотность вероятности двумерной случайной величины представляет собой поверхность распределения в пространстве .

Замечание 3. Согласно замечанию 1, функцию можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю: . (22.1)

Дата добавления: 2014-01-14