Й учебный вопрос. Виды структурных моделей с позиции идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Иден­тификация — это единственность соответствия между приведен­ной и структурной формами модели.

Рассмотрим проблему идентификации для случая с двумя эн­догенными переменными. Пусть структурная модель имеет вид:

где y₁ и y₂ — совместные зависимые переменные.

Из второго уравнения можно выразить у₁ следующей фор­мулой:

.

Тогда в системе имеем два уравнения для эндогенной пере­менной у₁ с одним и тем же набором экзогенных переменных, но с разными коэффициентами при них:

Наличие двух вариантов для расчета структурных коэффици­ентов в одной и той же модели связано с неполной ее идентифи­кацией. Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных и m экзогенных перемен­ных, содержит n(n – 1 + m) параметров. Так, при n = 2 и m = 3 полный вид структурной модели составит:

Как видим, модель содержит восемь структурных коэффици­ентов, что соответствует выражению n(n – 1 + m).

Приведенная форма модели в полном виде содержит nm пара­метров. Для нашего примера это означает наличие шести коэф­фициентов приведенной формы модели. В этом можно убедить­ся, обратившись к приведенной форме модели, которая будет иметь вид:

Действительно, она включает в себя шесть коэффициентов .

На основе шести коэффициентов приведенной формы моде­ли требуется определить восемь структурных коэффициентов рассматриваемой структурной модели, что, естественно, не мо­жет привести к единственности решения. В полном виде струк­турная модель содержит большее число параметров, чем приве­денная форма модели. Соответственно n(n – 1 + m) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из nm параметров приведенной формы модели.

Для того чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некото­рые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаи­мосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части си­стемы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Так, если предположить, что в нашей модели a₁₃ = 0 и a₂₁ = 0, то структурная модель примет вид:

В такой модели число структурных коэффициентов не пре­вышает число коэффициентов приведенной модели, которое равно шести. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другим путем: например, приравниванием некоторых коэффициентов друг к другу, т.е. путем предположе­ний, что их воздействие на формируемую эндогенную перемен­ную одинаково. На структурные коэффициенты могут наклады­ваться, например, ограничения b_ij + a_ij =0.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: идентифицируемые; неидентифицируемые; сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффици­енты определяются однозначно, единственным образом по коэф­фициентам приведенной формы модели, т. е. если число парамет­ров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты моде­ли оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема. Рассмотренная выше структурная мо­дель

с двумя эндогенными и тремя экзогенными (предопределенными) переменными, содержащая шесть структурных ко­эффициентов, представляет собой идентифицируемую модель.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэф­фициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в ре­зультате структурные коэффициенты не могут быть оценены че­рез коэффициенты приведенной формы модели. Структурная модель в полном виде

содержащая n эндогенных и m предо­пределенных переменных в каждом уравнении системы, всегда неидентифицируема.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных ко­эффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно по­лучить два или более значений одного структурного коэффици­ента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Так, если в структур­ной модели полного вида

предположить нулевые значения не только коэффициентов a₁₃ и a₂₁, но и a₂₂ = 0, то система уравнений станет сверхидентифицируемой:

В ней пять структурных коэффициентов не могут быть одно­значно определены из шести коэффициентов приведенной фор­мы модели. Сверхидентифицируемая модель в отличие от не-идентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему сов­местных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель счи­тается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверя­ется для каждого уравнения системы. Для того чтобы уравнение было идентифицируемо, нужно, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутству­ющих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в j-м уравнении системы через Н, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в дан­ное уравнение, — через D, то условие идентифицируемости моде­ли может быть записано в виде следующего счетного правила:

D + 1 = Н — уравнение идентифицируемо;

D + 1 < Н — уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > Н — уравнение сверхидентифицируемо.

Предположим, рассматривается следующая система одновре­менных уравнений:

Первое уравнение точно идентифицируемо, ибо в нем при­сутствуют три эндогенные переменные - у₁, у₂, у₃, т. е. Н = 3, и две экзогенные переменные – х₁ и х₂, число отсутствующих экзоген­ных переменных равно двум — х₃ и х₄, D = 2. Тогда имеем равен­ство: D + 1 = Н, т. е. 2 + 1 = 3, что означает наличие идентифици­руемого уравнения.

Во втором уравнении системы Н = 2 (у₁ и у₂) и D = 1 (х₄). Ра­венство D + 1 = H, т.е. 1 + 1 = 2. Уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении системы H = 3 (у₁, у₂, у₃), а D = 2 (x₁ и х₂). Следовательно, по счетному правилу D + 1 = H, и это уравнение идентифицируемо. Таким образом, рассмотренная система в целом иденти­фицируема.

Предположим, что в рассматриваемой модели a₂₁ = 0 и a₃₃ = 0. Тогда система примет вид:

Первое уравнение этой системы не изменилось. Система по-прежнему содержит три эндогенные и четыре экзогенные пе­ременные, поэтому для него D = 2 при Н = 3, и оно, как и в предыдущей системе, идентифицируемо. Второе уравнение имеет Н = 2 и D = 2 (х₁ и х₄), так как 2 + 1 > 2. Данное уравнение сверхидентифицируемо. Также сверхидентифицируемым оказывается и третье уравнение системы, где Н = 3 (у₁, у₂, у₃) и D = 3 (x₁, х₂, х₃), т.е. счетное правило составляет неравенство: 3 + 1 > 3 или D +1 >Н. Модель в целом является сверхидентифицируемой.

Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема, если же хотя бы одно из уравнений неидентифицировано, то модель в целом признается неидентифицируемой.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Урав­нение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем перемен­ным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определи­тель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем чис­ло эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других уравнениях, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие иден­тификации.

Обратимся к следующей структурной модели:

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и до­статочное условия идентификации. Для первого уравнения Н=3 (у₁, у₂, у₃) и D = 2 (x₃ и х₄ отсутствуют), т. е. D + 1 = Н, необходи­ма условие идентификации выдержано, поэтому уравнение точ­но идентифицируемо. Для проверки на достаточное условие идентификации заполним следующую таблицу коэффициентов при отсутствующих в первом уравнении переменных, в которой определитель матрицы коэффициентов равен нулю.

Дата добавления: 2014-01-14