Формула Тейлора. Пусть y=f(x) имеет все производные до (n+1)го порядка включительно в некоторой окрестности т

Пусть y=f(x) имеет все производные до (n+1)го порядка включительно в некоторой окрестности т. а.

Найдем многочлен Y=P_n(x)степени не выше n, значения которого в т. x=a равно значению функции в т. x=a, а значение производных функции f(x) при x=a

(*)

Будем искать этот многочлен в виде многочлена по степеням (x-a) с неопределенным коэффециентом.

Коэффициент С_i определим так, чтобы выполнялось (*).

R_n- называют остаточным членом.

Обозначим через R_n разность f(x) и P_n(x) тогда

R_n называется остаточным членом.

Для тех значений x, для которых R_n – мал. многочлен P_n(x) дает приближенное представление функции f(x).

Надо оценить R_n при различных значениях x, запишем остаточный член в виде

Формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если в формуле Тейлора положить a=0, то получим

Этот частный случай формулы Тейлора, называеся формулой Макларена.

Дата добавления: 2014-01-14