Доказательство

Z

W

Y

X

Пусть - собственный вектор матрицы А длины = 1. Возьмём два вектора и , перпендикулярных друг другу и вектору с длиной = 1. Из этих векторов получается новый ортонормированный базис пространства R³. При этом имеют место формулы для перехода от старого базиса к новому, и - от старых координат к новым.

Матрица О составлена из координат векторов нового ортонормированного базиса, и поэтому является ортогональной. По теореме 4, матрицей оператора А в новом базисе будет матрица

B = O^t∙A∙(O^t)^-1 = O^t∙A∙O, так как для ортогональных матриц имеет место равенство О^t = O^-1. Проверим, что B также будет симметрической. Действительно, (O^t∙A∙O)^t = O^t∙A∙O, по лемме о транспонировании произведения матриц. Пусть

.

В новом базисе базисные векторы имеют координаты:

, . Тогда , .

Так как, по теореме 3, , то b₁₂ = 0, b₁₃ = 0.

Тогда b₂₁ = 0, b₃₁ = 0, так как матрица В симметрична. Тогда матрица В имеет вид: . Получилось, что W – двумерное пространство и оператор A действует на нём симметрической матрицей . Тогда, по следствию из теоремы 3, в пространстве W можно построить ортонормированный базис из собственных векторов оператора А. Теорема доказана, так как векторы ,образуют искомый базис.

Следствие 1. Если А – линейный оператор в R³ с симметрической матрицей А, то в ортонормиро-ванном базисе, составленном из собственных векторов матрицы А, матрица оператора А имеет диагональный вид:

.

Следствие 2. Для любой симметрической матрицы А размера 3 х 3 найдётся ортогональная матрица О такая, что О^t∙A∙O = D, где D = , причём λ₁, λ₂, λ₃ – собственные числа матрицы А.

Примеры.

1. Построить ортонормированный базис из собственных векторов матрицы .

Ответ: 9, ; -1, .

2. Применяя MATHCAD, построить ортонормированный базис из собственных векторов матрицы. Решение и ответ см. далее.

3. Механическая задача. Тело, закреплённое центром масс к началу координат, сначала повернули на 30^о вокруг оси Х, затем на 45^о вокруг оси Y. Определить направление оси, вокруг которой тело повернулось в итоге и на какой угол.

Z

Y

X

Решение и ответ см. далее.

Дата добавления: 2014-01-14