Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интегрирование с помощью замены переменной




 

Одним из самых сильных методов интегрирование является метод замены переменной.

Пусть надо вычислить интеграл

F(x)dx. (2)

Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, положив

x = φ(t) и dx = φ′(t)dt. (3)

Для преобразования неопределённого интеграла (2) к новой переменной t по формуле (3) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение:

(4)

В формуле (4) предполагается, что ƒ(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции φ(t) и φ′(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Это равенство надо понимать так: после интегрирования левой части по х и подстановки х = φ(t) мы должны получить тождество.

Замечание 1: Часто вместо подстановки (4) употребляют обратную:

; . (5)

Замечание 2: Так как

,

то, если ,

из (4) следует:

Таким образом, вид неопределённого интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования. Этот факт используется при интегрировании способом подведением под знак дифференциала.

Примеры:

Вообще:

Если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл от дроби равен логарифму от модуля знаменателя.

 

Правило интегрирования по частям

Пусть функции u = u (x) и v = v (x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:

Интегрируем обе части равенства по х:

. (7)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла udv к вычислению интеграла vdu, который может оказаться проще исходного. При этом за u (x) обычно выбирают множитель подынтегрального выражения, который при дифференцировании упрощается, а за dv – множитель, который нетрудно проинтегрировать.

Пример 1: Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

Пример 2.

Интегрирование по частям приводит к успеху при интегрировании выражений вида: ,

Пример 4:

Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям

Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J,

получим равенство

Перенося J в левую часть равенства, имеем

Окончательно: .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 603; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.