Дробно-рациональные функции и их интегрирование

Дробно-рациональные функции. Простейшие

Об интегрировании в элементарных функциях

Операция дифференцирования элементарной функции снова приводит к элементарным функциям. Интегрирование элементарной функции часто приводит к неэлементарным функциям, т.е. функциям задаваемых одной формулой, содержащей конечное число операций. В связи со сказанным, полезно рассмотреть классы функций, первообразные которых являются элементарными функциями.

Пусть имеется дробно -рациональная функция R (x):

Если n < m, то дробь правильная. Если , то неправильная. Неправильную дробно-рациональную функцию путём деления числителя на знаменатель всегда можно представить, в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

Пример: Вычислить интеграл

Подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую часть:

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби всегда может быть сведено к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.

Оказывается, как увидим позже, всякую правильную дробно – рациональную функцию можно представить в виде суммы простейших дробно-рациональных функций четырёх типов.

где A, B, р, q – действительные числа, а трёхчлен x ² + px + q не имеет действительных корней, т.е. .

Проинтегрируем простейшие дроби:

Выделим в числителе производную знаменателя

Рассмотрим отдельно второй интеграл. Выделим в знаменателе полный квадрат

Окончательно получим:

Пример. Вычислить:

IV. Можно доказать, что интеграл от дроби этого типа выражается через сумму дробно – рациональных функций и арктангенс.

Заключение: Интегралы от простейших дробей есть функции элементарные (составленные из логарифмов, арктангенсов и рациональных функций).

Дата добавления: 2014-01-14