Форма сечения

Выбор материала

Так как в формулу Эйлера из всех механических характеристик входит лишь модуль Юнга

то для повышения устойчивости стержней большой гибкости нецелесообразно применять высокопрочные материалы, так как модуль Юнга для всех марок сталей примерно одинаков.

Для стержней малой гибкости применение высокосортных сталей оправдано, так как с повышением предела текучести у таких сталей повышаются и критические напряжения, а значит и запас устойчивости.

При проектировании стержней, работающих на устойчивость, следует выбирать такую форму сечения, чтобы гибкость стержня была одинаковой относительно обеих главных осей его сечения (условие равноустойчивости), а значит, согласно (19.10), (19.11), максимальный и минимальный моменты инерции такого сечения должны быть одинаковы

Кроме того, необходимо стремиться к получению при данной площади наибольших радиусов инерции. Для этого необходимо разместить материал сечения по возможности дальше от центра тяжести (трубчатые, коробчатые сечения).

По степени рациональности известные сечения можно распределить следующим образом: трубчатое сечение, уголок, двутавр, швеллер, квадрат, круг, прямоугольник.

19.7. Продольно-поперечный изгиб

Продольно-поперечный изгиб – это частный случай сложного сопротивления, при котором плоский поперечный изгиб балки сочетается с продольным изгибом от сжимающей нагрузки.

Отметим, что для гибких сжато-изогнутых стержней неприемлем принцип независимости действия сил, поскольку в этом случае сжимающая сила за счет значительных прогибов вызывает в стержне не только равномерное сжатие, но и дополнительный (к поперечному) изгиб. То есть, расчет гибких стержней должен вестись по деформированной схеме.

Получение точного решения рассматриваемой задачи часто вызывает серьезные затруднения, в связи с чем остановимся на приближенных методах решения.

Изгибающий момент в поперечном сечении стержня при продольно-поперечном изгибе можно представить в виде

где Mп – изгибающий момент, вызванный только поперечной нагрузкой Fi; F – продольная сжимающая сила. Отсюда видно, что полный момент может быть найден только после того, как найден прогиб стержня, но, с другой стороны, прогиб нельзя найти, не зная момента.

Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

Представим полный прогиб в виде следующей суммы

здесь yп – прогиб, вызванный только поперечной нагрузкой (без учета продольной силы F); ∆y – дополнительный прогиб, появившийся в результате действия сжимающей силы F.

С учетом (19.19), уравнение (19.18) распадается на два уравнения вида:

Предположим, что прогиб ∆y, как и в случае (19.6), описывается синусоидой (в этом как раз и заключается приближенность решения)

Исходя из (19.19), можем показать, что В этом случае преобразуем (19.21) к следующему виду

где Fэ – эйлерова сила, которая, согласно (19.8), имеет вид:

Используя совместно (19.22) и (19.17), запишем формулу для определения полного момента при продольно-поперечном изгибе

В этом случае выражение для определения максимального нормального напряжения при продольно-поперечном изгибе можно записать так:

где W – осевой момент сопротивления относительно оси поворота сечений балки при изгибе от поперечной нагрузки в плоскости xOy.

Как видим, нормальные напряжения нелинейно зависят от сжимающей силы и требуют для своего определения знания прогиба балки от поперечных на-грузок yп.

Дата добавления: 2014-01-14